文章目录

0 笔记说明
1 书本内容
- 1.1 矩阵的满秩分解
- 1.2 矩阵的正交三角分解（UR、QR分解）
- 1.3 矩阵的奇异值分解
- 1.4 矩阵的极分解
- 1.5 矩阵的谱分解
2 听课笔记
- 2.1 矩阵的满秩分解
- 2.2 矩阵的正交三角分解（UR、QR分解）
- 2.3 矩阵的奇异值分解
- 2.4 矩阵的极分解
- 2.5 矩阵的谱分解
3 补充内容
- 3.1 LU分解

0 笔记说明

参考书籍为：

本笔记主要是为了方便自己日后复习。由于未学习LaTeX，我会上传教材图片或者手写图片代替部分公式或内容。博客主要分为两部分：【1 书本内容】与【2 听课笔记】，前者为对教材中重要定理、定义的整理，后者为自己在矩阵上课时的笔记的二次书面整理。根据自身学习需要，我可能会增加必要内容。

本篇博客是关于第四章的内容，下面开始即为正文。

1 书本内容

1.1 矩阵的满秩分解

无

1.2 矩阵的正交三角分解（UR、QR分解）

1、列满秩矩阵的QR分解：设A为复数域上的m×r阶矩阵，且rank(A)=r，即A是列满秩矩阵时，A可以唯一地分解为A=UR，其中U是m×r阶酉矩阵，rank(U)=r，R是r阶正线上三角阵。

2、行满秩矩阵的QR分解：设A为复数域上的r×n阶矩阵，且rank(A)=r，即A是行满秩矩阵时，A可以唯一地分解为A=LU，其中U是r×n阶酉矩阵，rank(U)=r，L是r阶正线下三角阵。

3、满秩矩阵的QR分解：设A是复数域上的满秩n阶方阵，则A可以唯一地分解为A=UR或A=R₁U₁。其中U、U₁是n阶酉矩阵，R是正线上三角阵，R₁是正线下三角阵，即R和R₁的主对角线上的元素全是正的。

1.3 矩阵的奇异值分解

1、对于任何一个矩阵A都有：rank(AA^H)=rank(A^HA)=rank(A)=rank(A^H)。

2、若A是正规矩阵，则A的奇异值是A的非零特征值的模长。证明过程：对于正规矩阵A，存在酉矩阵U，满足：

则：

于是AA^H的特征值为：

即AA^H的特征值为：λ₁²,λ₂²,…,λ_n²，设λ₁,λ₂,…,λ_r是A的非零特征值，则A的奇异值为||λ₁||,||λ₂||,…,||λ_r||，得证。

1.4 矩阵的极分解

由于时间问题，省略这一部分，以后用到才会补。

1.5 矩阵的谱分解

由于时间问题，省略这一部分，以后用到才会补。

2 听课笔记

2.1 矩阵的满秩分解

1、矩阵的满秩分解：若A为复数域上的m×n阶矩阵，且rank(A)=r，则一定存在矩阵B、C，使得A=BC，其中B为复数域上的m×r阶矩阵，C为复数域上的r×n阶矩阵，且rank(B)=rank(C)=r，即B、C分别为列满秩、行满秩矩阵。证明过程如下：

2、矩阵的满秩分解是不唯一的：举个栗子，矩阵A为：

求A的满秩分解：

2.2 矩阵的正交三角分解（UR、QR分解）

1、满秩矩阵的QR分解：

QR分解也称为正交三角分解、UR分解。

2、满秩方阵的QR分解定理：若A是复数域上的满秩方阵，则存在酉矩阵Q和正线上三角阵R，使得A=QR，且这样的分解是唯一的。存在性由上一条知识点可得出，下面证明分解是唯一的：

3、使用矩阵的QR分解解方程组Ax=b：

2.3 矩阵的奇异值分解

奇异值分解：Singular Value Decomposition，以下简称SVD分解。

1、SVD分解定理：A为复数域上的m×n阶矩阵，rank(A)=r，一定存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V使得U^-1AV为：

其中σ₁≥σ₂≥…≥σ_r＞0，其中σ_i=sqrt(λ_i(A^HA))，指矩阵A^HA的第i个非零特征值的正平方根，其中i=1,2,…,r。σ₁,σ₂,…,σ_r称为矩阵A的奇异值。证明过程如下：

2、SVD分解求解过程：A为复数域上的m×n阶矩阵，则：

3、奇异值的性质：A为复数域上的m×n阶矩阵，则：

4、SVD分解的应用——图像压缩：

原本需要存储m×n个数据，现在只需要存储r(m+n+1)个数据。如果考虑到图像中的相邻行、相邻列可能线性相关，因此r<<m，r<<n，故r(m+n+1)<<m×n，这还是无损压缩。若取k≤r，则需要存储k(m+n+1)个数据，这是有损压缩。

2.4 矩阵的极分解

无

2.5 矩阵的谱分解

无

3 补充内容

3.1 LU分解

A为复数域上的n阶可逆方阵，则A有唯一的LU分解⇔A的各阶顺序主子式均不为0。A有LU分解是指：A=LU，其中L为n阶单位下三角阵，即L的主对角线上均为1，U为n阶上三角阵。可见矩阵的LU分解不一定存在。证明过程如下：

下面证明A有唯一的LU分解：

如果矩阵的LU分解存在，那LU分解怎么求呢？

举个栗子：

END

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