排列组合和概率

基本知识

分类和分步

分类用加法

老师从北京到上海做飞机有三种方式，坐高铁有五种方式，这是分类，老师要么坐火车要么坐高铁，用加法，3+5=8
分步用乘法

老师从北京到上海没有直达的票，需要去济南中转，从北京到济南有三种方案，从济南到上海有五种方案，这是分步，既要从北京到济南又要从济南到上海，用乘法，3*5=15

排列和组合

排列与顺序有关

A(n,m)
组合和顺序有关

C(n,m)

判定标准：从已选的主题中任意挑选出两个，调换顺序

有差别，与顺序有关(A)

无差别，与顺序无关©

例题1：

** 2019 广东）小李今天上午有 a、b、c、d 这 4 项工作要完成，下午
有 e、f、g 这 3 项工作要完成，每半天内各项工作的顺序可以随意调整，则他今
天有多少种完成工作的顺序？
A.30 B.60
C.72 D.144

解：“每半天内各项工作的顺序可以随意调整”，那么这是分布，既要完成上午的，也要完成下午的，而且完成工作肯定是有顺序完成的，是排列

上午：A(4,4) =24

下午：A(3,3) = 6

分步：24 * 6 =144

答案选D

例题二：

（ 2017 四川）某交警大队的 16 名民警中，男性为 10 人，现要选 4
人进行夜间巡逻工作，要求男性民警不得少于 2 名，问有多少种选人方法？
A.1605 B.1520
C.1071 D.930

**解：**分类讨论，并且这个选人是组合，他方案的不同在于男女性别的人数而不是每个人读的不同

方法一：

2男2女：C(10,2) * C(6,2) = 675

3男1女：C(10,3) * C(6,1) = 720

4男：C(10,4) = 210

然后分步相加答案为：A

**方法二：**正难则反

例题三：（记住）

2019 河南）某小学组织 6 个年级的学生外出参观包括 A 科技馆在

内的 6 个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择 A 科
技馆的方案有：
A.1800 种 B.18750 种
C.3800 种 D.9375 种

**解：**本题是一种类型的题，需要记住做题方法，一些人固定选A，一些人不选A

从6个年级中找2个年级选A，如一，二年级选A和二，一年级选A相同，所以是组合，C（6,2）

）不选 A 的 4 个年级，每个年级可以选另外 5 个科技馆中的任一个，这
里是本题的易错点、亮点，很多同学会从 5 个科技馆中选 4 个，这是错误的，正
确思路是：对于不选 A 的四个年级，第一个年级从 5 个馆中选一个为 C（5 个馆,1
个馆），第二个年级不需要与第一个年级去重复，可以与第一个年级参加相同的
馆为 C（5 个馆,1 个馆），第三个年级从 5 个馆中选一个 C（5,1）；第四个年级从
5 个馆中选一个 C（5,1）；是 C（5 个馆,1 个馆）*C（5,1）*C（5,1）*C（5,1）
=5 *5 *5 * 5。

答案选D

例题三：

2019 江苏）已知一个箱子中装有 12 件产品，其中有 2 件次品。若
从箱子中随机抽取 2 件产品进行检验，则恰好抽到 1 件次品的概率是：
A.13/22 B.10/33
C.7/11 D.8/11

**解：**这里没有说分开抽取，一般认为是一次抽取两个

总情况：C(12,2)

抽到1件次品：C(10,1) * C(2,1)

所以选B

例题四：

2019 吉林）抽奖箱子里剩下 8 张奖券，其中 5 张有奖，3 张无奖，
小王有两次抽奖机会，他不放回地依次抽取两张奖券，则这两张奖券中一张有奖
一张无奖的概率是：
A.15/56 B.25/64
C.15/32 D.15/28

疑问：这里的不放回依次抽取两个和上一题的一次抽取两个总情况怎么都是 C 来算

解：

不放回地依次抽取两张
奖券，一起拿出两张后，一张有奖，一张没奖，没有说第一张有奖还是第二张有
奖，即 8 张奖券中抽取两张，这两张奖券中一张有奖一张无奖。
（1）满足情况：2 张奖券一张有奖一张无奖，从有奖的 5 张中选 1 张 C（5
有,1），从无奖的 3 张中选一张 C（3 无,1），此时满足要求，“既有一张有奖，又
有一张无奖”用乘法：C（5 有,1）*C（3 无,1）。
（2）总情况：8 张奖券抽 2 张为 C（8,2）。
（3） P=满足情况数（一有一无） /总情况数（8 抽 2）=C（5 有,1 ） *C（3 无,1）/[C（8,2）]=5 *3/（8 *7/2）=15/25，对应 D 项。

例题五：

（ 2019 黑龙江）某公交站台附近区域停放 A 型共享单车 4 辆，B 型
共享单车 5 辆，C 型共享单车 6 辆。一公交车到站后，下车的乘客随机选择其中
13 辆单车骑走。问 B 型和 C 型单车全部被骑走的概率在以下哪个范围内？
A.在 10%以下 B.在 10%～15%之间
C.在 15%～20%之间 D.超过 20%

**解：**这个题没有考虑顺序，就是组合问题

总概率：C(15,13)

满足条件概率：C(4,2) * C(11,11)

答案选A

例题六：

2017 四川）某杂志为每篇投稿文章安排两位审稿人，若都不同意
录用则弃用；若都同意则录用；若两人意见不同，则安排第三位审稿人，并根据
其意见录用或弃用。如每位审稿人录用某篇文章的概率都是 60%，则该文章最终
被录用的概率是：

A.36% B.50.4%
C.60% D.64.8%

**解：**出现“若……，若……，若……”，是假如、要么，分开算。

√ √ 60% * 60%

√ × √ 60% * 40% * 60%

× √ √ 40% * 60% * 60%

答案：D

捆绑法

用来解决相邻问题

先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序
在排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续排序

插空法

用于解决不相邻问题

先排：先安排可以相邻的元素，行程若干空位
在插：将不相邻的元素插入到空位中

例题7：

（ 2017 广东）单位工会组织拔河比赛，每支参赛队都由 3 名男职工
和 3 名女职工组成。假设比赛时要求 3 名男职工的站位不能全部连在一起，则每
支队伍有几种不同的站位方式？
A.432 B.504
C.576 D.720

解：“要求 3 名男职工的站位不能全部连在一起”，那么可以有两个连在一起的情况,站队问题，甲乙和乙甲是不一样的，所以是排列

正难则反,三个男职工全部连在一起

总情况：A(6,6)

三个男职工全部连在一起的情况：A(3,3)

整体+女职工：A(4,4)

A(6,6) - A(3,3) * A(4,4) =576

**【注意】捆绑、插空的迷惑点。
1.不能全连：总数-全部相邻（捆绑法）。
2.不能连续：插空法。
**

例题8：

（ 2015 国考）把 12 棵同样的松树和 6 棵同样的柏树种植在道路两
侧，每侧种植 9 棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两
侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法？
A.36 B.50
C.100 D.400

解：左右各6棵松树，3棵柏树，分步，既要种左边的又要种右边的，并且是同样的松树，为组合

先种松树： C(6,6) =1 剩余5个坑

种柏树：C(5,3) = 10种

左边 * 右边 = 10 * 10 =100

选C

例题10：

（ 2017 联考）某兴趣组有男女生各 5 名，他们都准备了表演节目。
现在需要选出 4 名学生各自表演 1 个节目，这 4 人中既要有男生，也要有女生，
且不能由男生连续表演节目。那么，不同的节目安排有多少种？
A.3600 B.3000
C.2400 D.1200

解：

男女生各 5 名，说明总共有 10 人。既要有男生，也要有女
生，说明不能全是男生或全是女生，必须男生女生都有。不能由男生连续表演节
目，典型的男生不相邻问题，先排女生，再把男生插入空中。分情况讨论：
（1）3 个男生、1 个女生，先选人再排节目顺序，选人的时候排序会和节目
排序重复，所以选人的时候不需要排序，C（3,5） *C（1,5），一个女生不能把 3
个男生隔开，则一定会出现男生连续表演的情况，排除。
（2）2 个男生、2 个女生，选人 C（2,5） * *C（2,5），先排女生再把 2 个男生
插空， 2 个女生排完之后有 3 个空， 3 个空中选 2 个插， A （2,2） * A（2,3）。“先……
再……”，用乘法，C（2,5） C（2,5） A（2,2） A（2,3）=101026=1200 种；
（3）1 个男生、3 个女生，选人 C（1,5）*C（3,5），先排女生再把 2 个男生
插空， 3 个女生排完之后有 4 个空， 4 个空中选 1 个插， A （3,3）*A（4,1）。“先……
再……”，用乘法，C（1,5） *C（3,5） *A（3,3） *A（4,1）= 5 *10 *6 *4=1200 种。
分三种情况，三种情况相加，总的情况数为 0+1200+1200=2400 种。【选 C】

环形排列

1.引例：4 个老师坐在一个圆桌旁，有（）种不同的坐法？
答：4 个人（甲、乙、丙、丁）站一排，有 A（4,4）种情况。4 个人环形排
列有 A（4,4）种情况。如图，四种情况都是一样的，对于圆桌，不需要考虑坐在
哪里，只需要考虑顺序即可。对某个人而言左右手的人都是一样的，所以这四种
情况都是同一种情况。圈是没有起点和重点的，直线是起点和重点的。4 个人全
排列，有 A（4,4）种情况但每种情况都会重复算 4 次，故实际是 A（4,4）/4=A
（3,3）种。n 个人全排列，有 A（n,n）种情况，但每种情况都会重复算 n 次，
故实际是 A（n,n）/n=A（n-1,n-1）种。

结论：：n 个人进行环形排列，有 A（n-1,n-1）种排法。也可以巧记：一个
固定不动，其余（n-1）个人排列顺序即可。

例题10:

（ 2016 陕西）6 个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨在一
起，问有多少种安排方法？
A.720 B.180
C.560 D.480
E.360 F.240

G.120 H.48

**解：**典型的环形排列问题＋捆绑法

把小华和小明当做一个整体，内部排序 A（2,2)

然后套环形排列公式

A(4,4) * A(2,2)= 48

选H

例题10:

2019 联考）某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝
火四周，其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为：
A.2/97 B.2/98
C.2/99 D.2/100

**解：**环形排列＋捆绑

总体情况：A(99,99)

小张和小李捆绑 A(2,2)

捆绑＋其他：A(98,98)

所以答案为：：C

例题12：

2019 陕西）主人随机安排 10 名客人坐成一圈就餐，这 10 名客人
中有两对情侣，那么这两对情侣恰好都被安排相邻而坐的概率约在：
A.0 到 2%之间 B.2%到 3%之间
C.3%到 4%之间 D.4%到 5%之间
E.5%到 6%之间 F.6%到 7%之间
G.7%到 8%之间 H.8%以上

**解：**两对情侣恰好都被安排相邻而坐，是情侣种男女相邻而坐，这两队伍情侣不需要相邻而坐，设两队情侣分别为甲乙

总情况：A(9,9)

甲：A(2,2)

乙：A(2,2)

符合条件的概率：A（7,7） * A(2,2) *A(2,2)

答案：E

枚举法

凑数，如找钱
情况少

例题13：

（ 2019 安徽）小王在商店消费了 90 元，口袋里只有 1 张 50 元、4
张 20 元、8 张 10 元的钞票，他共有几种付款方式，可以使店家不用找零钱？
A.5 B.6
C.7 D.8

解：

先用面值最大的，然后逐渐减少：
（1）一张 50 元，两张 20 元，不用 10 元。
（2）一张 50 元，一张 20 元，两张 10 元。
（3）一张 50 元，不用 20 元，四张 10 元。
（4）不用 50 元，四张 20 元，一张 10 元。
（5）不用 50 元，三张 20 元，三张 10 元。
（6）不用 50 元，两张 20 元，五张 10 元。
（7）不用 50 元，一张 20 元，七张 10 元。

答案C

例题14：

（ 2017 联考）小王从编号分别为 1、2、3、4、5 的 5 本书中随机抽
出 3 本，那么，这 3 本书的编号恰好为相邻三个整数的概率为：
A.1/2 B.2/5
C.3/10 D.3/5

**解：**恰好相邻，本题不需要考虑数字的顺序，就是123和321是一样的

相邻的情况只有 123,234,345

总的情况有C(5,3) = 10

答案为：C

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