面试过程中的排列组合和趣味性题目

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感想

在我紧张的准备找工作的过程中，我发现有很多很有意思的排列组合问题，我这里也整理了一部分，我分享出来，也希望大家enjoy 一下，另外，我把我求招刷的题目，和一些记录放在了github上，地址为：https://github.com/w5688414/JobInterviewInAction

有需要的同学可以去看看，也鼓励大家建立自己的知识库。

problem 1

某团队有 2/5 的人会写 Java 程序，有 3/4 的人会写 C++程序，这个团队里同时会写 Java 和 C++的最少有______人。

 概率论公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
4*5最小公倍数20人,20*(2/5+3/4-1) = 3

problem 2

平面内有11个点，由它们连成48条不同的直线，由这些点可连成多少个三角形？

平面内有11个点，如果没有多个点在一条线上，最多可以有C11 2=11*10/2=55
而目前只连成48条直线，说明有多个点在一条线上。55-48=7条
而三个点在一条直线上，减少C3 2 - 1 = 2条线
四个点在一条线上，减少C4 2 - 1 = 5条
五个点在一条线上，减少C5 2 - 1 = 9条
所以所以有一组三个点共线有一组四个点共线
如果没有3个或3个以上的点在一条直线上，则可以连上C(11,3)=165
现在有一个三点共线和一个四点共线，三点共线会减少1个三角形,C(3,3)=1
四点共线会减少4个三角形，C(4,3)=4
则最终的连接个数为165-1-4-160

problem 3

How many rectangles you can find from 3*4 grid?

因为每两条横线与两条竖线可以组成一个矩形，
共有4条横线，5条竖线
因此共有C(4,2)*C(5,2)=6*10=60个

problem 4

老王去年种了一块菜地，今年他又新开发出了一块比去年大的正方形菜地，这块新地的卷心菜的产量比去年多211只。请问他今年总共可从这两块菜地上收获多少只卷心菜?(假设面积相等的菜地去年和今年的产量一样)。

总共收获2x+211颗，其中x必须为整数。

problem 5

杀人游戏，6个人互相投票，有一个人被其他5个人一起投死的概率是多少（）？
假设每个人都不会投自己，投其他每个人是等概率的。

（6*5）/（5^6）分母：每个人都有5种选择，即总的投票情况有5^6种
分子：被投死的人可以是6人中任一个，被投死的人有5种投票的情况

problem 6

我们在将某个订单送给某一司机之前，需要计算一下这个司机选择接受这个订单的概率，现有A,B两个订单，对某一司机。已知：
1.如果只将订单A播送给司机，司机接受的概率是Pa;
2.如果只将订单B播送给司机，司机接受的概率是Pb;
现在讲A，B同时播送给该司机，司机选择A的概率是多少

则 P(A) = Pa(1-Pb)，P(B)=Pb(1-Pa)，P(AB)=PaPb，P(不接)=(1-Pa)(1-Pb)
若两单只能接一单或不接，即去掉AB。那么概率为P(A)/(1-P(AB)) = Pa(1-Pb)/(1-PaPb)

problem 7

人工批量种植盆景虎皮兰，已知它们植株高度平均70cm，标准差5cm。现在从中随机输出100盆景到市场销售，则下面说法错误的是（）：
估计100盆中至少有75盆高度在60到80cm之间
有较高把握估测这100盆的平均高度在69到72cm之间
估计100盘中至少有70盆高度在65到75cm之间

正态分布曲线性质中有 ：P（μ-σ<X≤μ+σ）=68.3%P（μ-2σ<X≤μ+2σ）=95.4%P（μ-3σ<X≤μ+3σ）=99.7%；依照题意，落在 [65,75]之间 平均有 有68盆，落在[60,80]之间 平均 有95盆

problem 8

集合A={0，1，2} 上的四个关系中，哪个是等价关系？（）
R1={<0,0>, <1,1>, <2,2>, <1,2> }
R2={<0,0>, <1,1>, <2,2>, <0,1>,<1,0>}
R3={<0,0>, <1,1>, <2,2>, <0,2>, <2,1> }
R4={<0,1>, <1,0>, <0,0>, <1,1>}

等价关系需要满足三个性质：自反性、对称性、传递性。R1不满足对称性，R3不满足对称性、传递性，R4不满足自反性。强度 λ 的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从同一个指数分布（即参数为 λ  的指数分布），而指数分布的均值为1/λ 。

problem 9

H同学每天乘公交上学，早上睡过头或遇到堵车都会迟到；H早上睡过头的概率为0.2，路上遇到堵车的概率为0.5；若某天早上H迟到了，那么以下推测正确的有（）。

因为H同学迟到是事实，所以睡过头占迟到总概率为2/7,堵车占迟到总概率为5/7

problem 10

有8只球队，采用抽签的方式随机配对，组成4场比赛。假设其中有4只强队，那么出现强强对话（任意两只强队相遇）的概率是____。

把8支队伍分成强队（A、B、C、D）和弱队（A‘、B’、C‘、D’），首先考虑全组合：A可以选择剩下的7支队伍，剩下6支队伍假设为（B、C、D）和弱队（B’、C‘、D’），B选择可以选5支队伍，然后剩下的可以选3支，剩下两队就不用选了，总共为7*5*3；如果只能强队和弱队组合：A可以选4支队伍，然后B可以选3支，然后C可以选2支，D也不用选了，总共为4*3*2。出现强强相遇的概率就为
1-(4*3*2)/(7*5*3)=27/35

reference

[阿里笔试]有8只球队,采用抽签的方式随机配对,组成4场比赛。假设其中有4只强队,那么出现强强对话 (任意两只强队相遇)的概率是？

球队强强对话的概率。

problem 11

推理：24个人，每人至少养一种宠物，养鸟、狗、鱼、猫的分别为13、5、10、9人，同时养鸟和狗的2人，同时养鸟和鱼、鸟和猫、鱼和猫的各为4人，养狗的既不养猫也不养鱼。问只养一种宠物的总共几人？同时养鸟鱼猫的几人？

- 并集AuBuCuD=24. A:鸟 B:狗 C:鱼 D:猫
- A=13，B=5，C=10，D=9.
- 交集AnB=2，AnC=4，AnD=4，CnD=4.
- 还有一个交集AnCnD。没有其他可能的集合。
- A+B+C+D-(AnB+AnC+AnD+CnD)+AnCnD=AuBuCuD。
- 可得AnCnD=24-（37-14）=1.
- 13-2-4-4+1=4.  5-2=3.  10-4-4+1=3. 9-4-4+1=2
- 4+3+3+2=12

problem 12

集合A到B共有64个不同的函数，则B中元素不可能有（）个。
4
8
16
64

集合 A元素为a个，集合B元素为b个，则集合a到b的函数共有b^a个。

## problem 13

有20个自然数1-20.每次取两个数字,取出不放回，其中一个数字是另一个数字2倍多。则最多取出来（）个数字。

因为1到9的2倍多不会超过20,所以1到9我们放在第一个取的举个例子1  102  113  124  135  146  157  168   179   19
共18个

problem 14

用两种颜色去染排成一个圈的6个棋子，如果通过旋转得到则只算一种，问一共有多少____种染色模式。

- polya定理：
(2^6+2^1+2^2+2^3+2^2+2^1)/6=14
- 假如两个颜色分别为黑白，全黑：1，一个白：1，两个白:3，三个白：4，根据对称性，四个白为3，五个白为1，全白为1，则有14种

problem 15

马路上有编号1,2,3…10的十盏路灯，为节约用电而又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有()种不同的关灯方法。

采用插隔板法，即8灯关3,余5灯亮,5灯之间6个空,插入3盏不亮灯即C（6,3）

problem 16

某次买可乐集瓶盖活动中有5种不同的瓶盖以等概率出现，每买一瓶汽水可得到一个瓶盖，集齐所有瓶盖所买汽水瓶数的期望，与以下哪个结果最为接近

取到一种不同瓶盖的期望次数为1；
在已经取到一种瓶盖的情况下，再取到一种不同的瓶盖的期望次数是1/（4/5）=5/4；
在已经取到两种瓶盖的情况下，再取到一种不同的瓶盖的期望次数是1/（3/5）=5/3；
因此，取到五种瓶盖的期望次数为1+5/4+5/3+5/2+5/1=11+5/12。

problem 17

三个骰子摇到的点数之和为（）的概率最大？

- 点数和为10时，可以分为：（1）（1，3，6），（1，4，5），（2，3，5）；（2）（2，2，6），（3，3，4），（4，4，2）。P = (3! * 3 + 3 * 3)/6*6*6 = 27/216
- 点数和为11时，也分为两种情况：（1）（1，4，6），（2，3，6），（2，4，5）； （2）（3，3，5），（4，4，3），（5，5，1）P = (3! * 3 + 3 * 3)/6*6*6 = 27/216

reference

三个骰子点数之和概率

problem 18

含5个节点，3条边的不同构的简单图有（）

1.  A--B,A--C,A---D,E
2.  A--B,A--C,C--D,E
3. A--B--C--D,E
3. A--B--C,D--E

problem 19

硬币游戏：连续扔硬币，直到某一人获胜，A获胜条件是先正后反，B获胜是出现连续两次反面，问AB游戏时A获胜概率是？

考虑先抛两次，共4种情况：正正，正反，反正，反反；
正反 A胜，反反 B胜；
正正 情况下，接着抛，如果是正，游戏继续；如果是反，A胜。所以这种情况下最终也是A胜。
反正 情况下也是类似的，最终也是A胜。
所以A得胜率是3/4.

problem 20

两个人抛硬币，规定第一个抛出正面的人可以吃到苹果，请问先抛的人能吃到苹果的概率多大？

先抛的人能吃到苹果的概率：
第一次吃到苹果P1：1/2;正
第二次吃到苹果P2：1/2 * 1/2 * 1/2;(反反正)
第三次吃到苹果P3：1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2;(反反反反正)
第四次吃到苹果P4： 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 ;(反反反反反反正)
...
第 N 次吃到苹果Pn： 1/2 * 1/2 * 1/2 * ... * 1/2 * 1/2 * 1/2 ;
先抛的人能吃到苹果的概率：P = P1+P2+...+Pn = 1/2 + 1/2 * （1/4） + 1/2 * (1/4)^2 + ... + 1/2 * (1/4)^(n-1)
= 1/2 * （1 + （1/4）^1 + （1/4）^2 + （1/4）^3 + （1/4）^(n-1) ）
<= 1/2 * （1 + 1/4 / (1-1/4)）(n->无穷大)
<= 1/2 * 4/3 = 2/3

problem 21

有甲乙两只圆柱形玻璃杯，其内径一次是 10 厘米、 20 厘米，杯中都装满了水。甲杯中之前放有一铁块，当取出此铁块时，甲杯中的水位下降了 2 厘米，然后将此铁块放入乙杯中。问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？

- 这道题有些像脑筋急转弯，其实想明白了也非常简单。
- 注意“杯中都装满了水”这句话，表明乙杯在放入铁块之前便已装满水，
- 现在放入一个铁块只能使水漫出来，但水面不会增高。

problem 22

若AB为任意两个随机事件，则（）
P(AB)<=(P(A)+P(B))/2

- 由P（AB）定义可知：P（AB）<=P(A)，P（AB）<=P(B)；相加，除以2
- 如果A包含B，则P(AB)=P(B)，而P(A)*P(B)<=1*P(B)=P(B)，即P(AB)可能大于P(A)*P(B)

problem 23

其他每天有流量雨的概率是相等的，一个人每天晚上都去观察，发现一个月能够看到流星的概率是91%，请问半个月中能够看到流量的概率是多少？

- 设一天中看得到流星雨的概率为X
一个月至少能看到一场的概率为：1-（1-X）30=91%
那么（1-X）15 =30%
则半个月至少能看到一场流行雨的概率为：1-（1-X）15=70%

problem 24

一个英雄基础攻击力为100，携带了三件暴击武器，武器A有40%的概率打出2倍攻击，武器B有20%的概率打出4倍攻击，武器C有10%概率打出6倍攻击，各暴击效果触发是独立事件，但是多个暴击效果在一次攻击中同时触发时只有后面武器的暴击真正生效，例如一次攻击中武器A判定不暴击，武器B和武器C都判定触发暴击，那么这次攻击实际是600攻击力。那么这个英雄攻击力的数学期望是____。

- 600 * 10%） // 使用武器C
+（400* 90% * 20% ） // 使用武器B，需要保证没有使用武器C，否则因为多个暴击效果在一次攻击中同时触发时只有后面武器的暴击真正生效，武器B不生效
+（200 * 90% * 80% * 40%）  // 同理，使用武器A，需要保证武器B和C都没有使用
+（100*60%*80%*90%）// 没有使用任何武器
= 232.8

problem 25

有两个袋子，白色袋子里有7个红球和3个蓝球，黑色袋子里有3个红球和7个蓝球。每次取一个球，取完立刻放回，所有球都从某一个袋子里取，袋子的选择是随机的。共取出6个红球和4个蓝球。问所有球是从黑色袋子里取出的概率是（）

- 0.3^6 * 0.7^4  / ( 0.7^6 * 0.3^4 + 0.3^6 * 0.7^4)   ;//分子分母同时除以 0.3^4 * 0.7^4
- 0.3^2 * / ( 0.7^2+ 0.3^2) = 9/(49+9) =     0.16

problem 26

在一冒险游戏里，你见到一个宝箱，身上有N把钥匙，其中一把可以打开宝箱，假如没有任何提示，随机尝试，问：
（1）恰好第K次（1=<K<=N）打开宝箱的概率是多少。
（2）平均需要尝试多少次

- （1）恰好第K次（1=<K<=N）打开宝箱的概率是多少。 (1-1/n)*(1-1/(n-1))*(1-1/(n-2))***(1/(n-k+1)) = 1/n
- （2）平均需要尝试多少次。
这个就是求期望值   由于每次打开宝箱的概率都是1/n，则期望值为：  1*(1/n)+2*(1/n)+3*(1/n)+......+n*(1/n) = （n+1）/2

problem 27

有个苦逼的上班族，他每天忘记定闹钟的概率为0.2，上班堵车的概率为0.5，如果他既没定闹钟上班又堵车那他迟到的概率为1.0，如果他定了闹钟但是上班堵车那他迟到的概率为0.8，如果他没定闹钟但是上班不堵车他迟到的概率为0.9，如果他既定了闹钟上班又不堵车那他迟到的概率为0.0，那么求出他在60天里上班迟到的期望。

-  每天迟到的概率P=1*0.2*0.5+0.9*0.2*0.5+0.8*0.8*0.5+0=0.51
E（x1+x2+...+x60）=E(x1)+...+E(x60)=60*0.51=30.6

problem 28

有三个黑气球，其中只有一个黑气球中有金币，你可以任意选择任何一个气球，而主持人在剩下的气球中打破一个气球，然后告诉你里边没有金币:你还有一次机会，既可以坚持选择，也可以换另外一个未打破的气球。如果你选择换的话获得金币的概率为()

-  如果你第一次选择有金币的气球（1/3的概率），那么你换了之后肯定得不到金币，
- 所以这种情况下得到金币的概率是1/3*0=0。如果你第一次选择没有金币的气球（2/3的概率），
- 那么你换了之后，剩下的那个没有破的气球里面就是金币，
- 所以这种情况下得到金币的概率是2/3*1=2/3。总概率0+2/3=2/3。

learning

t检验，主要运用于样本含量较少（一般n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。
适用条件：
(1) 已知一个总体均数；
(2) 可得到一个样本均数及该样本标准差；
(3) 样本来自正态或近似正态总体。
U检验应用条件和t检验应用条件基本一致， 只是大样本时用u检验 ，小样本时用t检验，t检验可以代替U检验。

problem 29

平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1。

- 任取n个0到1之间的实数，这些数之和小于1的概率：
(1) n=1，p1 = 1 = 1/1!(2) n=2，p2 = 1/2 = 1/2!二维空间中x+y<1的几何分布模型(3) n=3，p3 = 1/6 = 1/3!三维空间中x+y+z<1在单位立方体中截得三棱锥的体积∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6(4) n=4，p4 = 1/24 = 1/4!四维空间中单位立方体一角的“体积”，其“底面”为一个体积为1/6的三维体∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24依此类推， n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是(1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e

problem 30

假设淘宝用户上的用户看到一个商品后购买的概率是5%，收藏的概率是20%，而用户收藏一个商品之后购买的概率是20%，那么已知某用户看到某商品之后完成了购买，那么该用户收藏过该商品的概率是____。

- 设A为买，B为收藏。 已知P(A)=5%, P(B)=20%, P(A|B) = 20%。
所以P（B|A）=P(AB)/P(A) = P(A|B)P(B)/P(A) = 80%.

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面试过程中的排列组合和趣味性题目一

面试过程中的排列组合和趣味性题目

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