题解HDU6148 Valley Numer(数位DP+深搜DFS)

题解HDU6148 Valley Numer[数位DP+深搜DFS]

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Description：

众所周知，度度熊非常喜欢数字。

它最近发明了一种新的数字：Valley Number，像山谷一样的数字。

当一个数字，从左到右依次看过去数字没有出现先递增接着递减的“山峰”现象，就被称作 Valley Number。它可以递增，也可以递减，还可以先递减再递增。在递增或递减的过程中可以出现相等的情况。

比如，1，10，12，212，32122都是 Valley Number。

121，12331，21212则不是。

度度熊想知道不大于N的Valley Number数有多少。

注意，前导0是不合法的。

Input：

第一行为T，表示输入数据组数。

每组数据包含一个数N。

● 1≤T≤200

● 1≤length(N)≤100

e.g.
3
3
14
120

Output：

对每组数据输出不大于N的Valley Number个数，结果对 1 000 000 007 取模。

e.g.
3
14
119

解析

TAG:
数位DP+DFS
DESCRIPITION:
山谷数是指没有出现先递增后递减的"峰"的数，给定一个大数N，求有多少个小于等于 N 的 Valley Number，模1e9+7
INPUT:
T组测试数据（1≤T≤200），每组一个N（1≤length(N)≤100）
SOLUTION:
（1）总思路：利用dfs进行数位DP的计算与保存，dp[i][j][k]表示i位的数块前一个数是j状态为k的数有多少。状态k=0表示当前非递增，1表示当前递增。
（2）俩个特殊考虑：一个是当当前递归出来的数列与上限N重合，一个是全都是0的数不合法，此时状态pre前导值用10表示。
（3）正序或倒序处理：注意每一个数块大小为当前遍历位到最终位的长度，所以我们可以将字符串数组倒序处理，当然正序也可以，只不过dp数组表示方式有点不同，具体看代码注释。

参考源码

逆向递归：

//逆序递归
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define maxn 205
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
//dp[i][j][k]表示第i位前一个数是j状态为k的数有多少。状态0表示当前非递增，1表示当前递增
//注意虽然说是第i位，但由于是倒序的，实际上是第len-i+1位。
ll dp[maxn][15][5];
int num[maxn];
//pos表示当前在第几位（从后往前）
//status=1表示递增（从后往前）
//pre表示前面递归的是哪一位（从后往前）
//limit表示前面递归的是否
ll dfs(int pos, int status, int pre, int limit) {//过了第一位啦，1个alley Number确立，所以return 1if (pos < 1)return 1;//并且该dp状态已经存在，并且没有压边界，则可以直接调用dp值返回if (!limit && dp[pos][pre][status] != -1)return dp[pos][pre][status];//确立递归时的该位取值上限int end = limit ? num[pos] : 9;//此时状态值为ans，初始化为0ll ans = 0;if (status) {//原来是递增for (int i = pre; i <= end; i++) {//继续递增//limit && i == end表示当前面状态压线并且现在递归位也压线时接下来的递归状态也是压线ans += dfs(pos - 1, status, i, limit && i == end);ans %= mod;}}else {//原来是递减for (int i = 0; i <= end; i++) {if (i > pre) {//该位要递增ans += dfs(pos - 1, 1, i, limit && i == end);//改status=1表示原状态由非递增变为递增ans %= mod;}else {//该位要非递增//i是0且前一递归位是10，表示这是第一位赋0，因为没有前导0，00...00就不能山谷数，第一位确认0时需要赋予一个特殊状态，//即当我们在第一次遍历时需要置当前位为0时，设置一个10与非首位的0区分开来，这样最后得到一个全是10的数，结果将其减1就行if (!i && pre == 10)ans += dfs(pos - 1, 0, 10, limit && i == end);else//非首位正常递归ans += dfs(pos - 1, 0, i, limit && i == end);ans %= mod;}}}//如果不是特殊的压线情况，就保存dp值，即第pos位前一个数是pre状态为status的数有ans那么多if (!limit)dp[pos][pre][status] = ans;return ans;
}int main() {char s[maxn];int t;memset(dp, -1, sizeof(dp));cin >> t;while (t--) {cin >> s;int len = strlen(s);for (int i = 0; i < len; i++) {num[len - i] = s[i] - '0';}//pos=len，为最后一位//status=0，递减//pre=10，表示是特殊位//limit=1，最开始时要根据递归的首位选择该位上限值，所以是压线的cout << dfs(len, 0, 10, 1) - 1 << endl;}
}

正向递归：

//正向递归
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAXN 200
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1e9 + 7;
//dp[i][j][k]表示i位的数块前一个数是j状态为k的数有多少。状态0表示当前非递增，1表示当前递增
ll dp[MAXN+5][15][5];
int num[MAXN+5];
int len;
//pos表示当前在第几位（从后往前）
//status=1表示递增（从后往前）
//pre表示前面递归的是哪一位（从后往前）
//limit表示前面递归的是否
ll dfs(int pos, int status, int pre, int limit) {//过了第一位啦，1个alley Number确立，所以return 1if (pos > len)return 1;//并且该dp状态已经存在，并且没有压边界，则可以直接调用dp值返回if (!limit && dp[len-pos+1][pre][status] != -1)return dp[len-pos+1][pre][status];//确立递归时的该位取值上限int end = limit ? num[pos] : 9;//此时状态值为ans，初始化为0ll ans = 0;if (status) {//原来是递增for (int i = pre; i <= end; i++) {//继续递增//limit && i == end表示当前面状态压线并且现在递归位也压线时接下来的递归状态也是压线ans += dfs(pos + 1, status, i, limit && i == end);ans %= MOD;}}else {//原来是递减for (int i = 0; i <= end; i++) {if (i > pre) {//该位要递增ans += dfs(pos + 1, 1, i, limit && i == end);//改status=1表示原状态由非递增变为递增ans %= MOD;}else {//该位要非递增//i是0且前一递归位是10，表示这是第一位赋0，因为没有前导0，00...00就不是山谷数，第一位确认0时需要赋予一个特殊状态，//即当我们在第一次遍历时需要置当前位为0时，设置一个10与非首位的0区分开来，这样最后得到一个全是10的数，结果将其减1就行if (!i && pre == 10)ans += dfs(pos + 1, 0, 10, limit && i == end);else//非首位正常递归ans += dfs(pos + 1, 0, i, limit && i == end);ans %= MOD;}}}//如果不是特殊的压线情况，就保存dp值，即第pos位前一个数是pre状态为status的数有ans那么多if (!limit) {dp[len-pos+1][pre][status] = ans;//cout << "dp[" << len - pos + 1 << "][" << pre << "][" << status << "]=" << ans << endl;}return ans;
}int main() {char s[MAXN+5];int t;memset(dp, -1, sizeof(dp));cin >> t;while (t--) {cin >> s;len = strlen(s);for (int i = 0; i < len; i++) {num[i + 1] = s[i] - '0';}//pos=1，为第一位//status=0，递减//pre=10，表示是特殊位//limit=1，最开始时要根据递归的首位选择该位上限值，所以是压线的cout << dfs(1, 0, 10, 1) - 1 << endl;}
}

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