H Hash Function

Hash Function

题目描述

For a given set S={a0,a1,a2,...,an−1}S = \{a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}\}S={a0,a1,a2,...,an−1}, we called a hash function fS(x)f_S(x)fS(x) perfect hash function of S, if it satisfies ∀0≤i<j<n,fS(ai)≠fS(aj)\forall 0 \leq i < j < n, f_S(a_i) \neq f_S(a_j)∀0≤i<j<n,fS(ai)=fS(aj).

Given a set S with non-negative integers, please find the minimum positive integer seed that function hseed(x)=xmod seedh_{seed}(x) = x \mod seedhseed(x)=xmodseed is a perfect hash function of S.

输入描述:

The first line of input contains one integer $n$, describing the size of set S.The second line contains n(1≤n≤500000)n(1 \leq n \le 500000)n(1≤n≤500000) integers a0,...,an−1a_0,...,a_{n-1}a0,...,an−1, describing the elements in S.It is guaranteed that ∀0≤i<j<n,ai≠aj,0≤ai≤500000\forall 0 \leq i < j < n, a_i \ne a_j, 0 \le a_i \le 500000∀0≤i<j<n,ai=aj,0≤ai≤500000.

输出描述:

Output one integer in a line, indicating the answer.

示例1

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3
2 3 4

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示例2

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3
1 2 4

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示例3

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10
0 7 23 18 29 27 6 28 24 11

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题意：给出的散列集合里面是一些互不相等的数，我们需要找一个最小的正整数x,使集合里的每个数mod x之后仍是互不相等的数。

思路：先将散列集合由小到大排序，排序完最大的数为a[n]。首先考虑mod，因为给的集合的数互不相同，所以无论给的数再小，最大的也应该>=n，所以最小的mod应该在

n - a[n]+1之间，其次考虑如果集合里的数比mod小，求余后仍为mod，所以一开始就标记所有在集合里的数为true，等会逆着遍历时如果比mod大的数求余后仍和原来集合已经存在的数不相同，就满足条件。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 500010
int n,a[N];
bool vis[N];
int main(){
   cin>>n;
   for(int i=1;i<=n;i++){
       cin>>a[i];
       vis[a[i]]=true;
   }
   sort(a+1,a+n+1);
   for(int i=n;i<=a[n]+1;i++){//最大比集合中最大的数大一，因为如果模出来都等于自身，也是可以的，且满足最小
       int flag=1;
       for(int j=n;a[j]>=i;j--){//比i小的模i模模出来是自身，所以只考虑>=i的
           if(vis[a[j]%i]){
               flag=0;
               break;
           }
       }
       if(flag){
           cout<<i<<endl;//满足条件的最小值，输出，并结束循环
           break;
       }
   }
   return 0;
}

附上一点关于散列的知识：

常见的哈希函数

原理参考《算法导论》

一、除法散列函数

根据描述实现算法，先取对应种子

int hash_mod_seed(int n, int iCheck) {//存放n个关键字，一次不成功的查找要检查iCheck个关键字，默认一个字符是8位int iStart= n / iCheck, prime = (iStart == 1) ? 2 : iStart;assert(iCheck >= 0 && iCheck <= 8);//odd起始要跳过已经判断了的奇数for (int j = 0, odd = (iStart % 2 == 0) ? iStart / 2 : (iStart - 1) / 2 + 1;j < 8 - iCheck; odd++) {//生成一个素数bool fPrime = true;for (int k = 2; k <= sqrt(prime); k++)if (prime % k == 0) {fPrime = false;break;}if (fPrime) //记录素数j++;prime = odd * 2 + 1;//待判断的奇数}return prime - 2;
}

关键算法实现

int hash_mod(int key, int seed) {return key % seed;
}

二、乘法散列函数

根据算法描述实现（应用时，slot大小是2^p，此函数无论如何映射，不会超出slot大小）

int hash_mul(int key, int w, int p) {//w指关键字int是32位，p是映射后截取的最高有效位__int64 s = (sqrt(5) - 1) / 2 * pow(2, w);__int64 r0 = s*key % (__int64)pow(2, w);return r0 / pow(2, w - p);//高p位有效位
}

三、全域散列

原理是：假设数组有n个元素，通过除法散列算法中的hash_mod_seed函数取得一个素数种子R。利用系统的随机函数并采用取模的方法生成一个长度位R的数组A，在进行全域哈希时，通过关键字key生成一个类似数组A的数组B。最后，散列的主要算法核心是求A[0]*B[0]+....+A[R-1]*B[R-1]的模（被除数是R*R）

全域散列种子生成

int *hash_seed(int *pKey, int R) {//pKey为NULL时表示初始种子，并作为hash_full函数中的v参数传入int *v = new int[R], key;memset(v, 0, R * sizeof(R));if (pKey == NULL) {srand(time(NULL));for (int i = 0; i < R; i++)v[i] = rand() % R;}else {key = *pKey;for (int i = 0; i < R && key; i++) {v[i] = key % R;key = key / R;}}return v;
}

对应的种子释放

void hash_seed_free(int *v) {delete[] v;
}

关键函数，全域散列算法实现（应用时，slot大小是R*R）

int hash_full(int key, int R, int *v) {//R是hash_mod_seed(n, 3)，M是hash_mod_seed^2int slot = 0, M = R*R;int *numV = hash_seed(&key, R);for (int i = 0; i < R; i++)slot += numV[i] * v[i];hash_seed_free(numV);return slot % M;
}

为了方便大家测试代码，我还是补一个全域散列的打印函数

void hash_full_print(int *A, int n) {int R = hash_mod_seed(n, 3);int *v = hash_seed(NULL, R), *hash = new int[R*R];memset(hash, 0, sizeof(int)*R*R);printf("hash seed=%d, slot size=%d\n", R, R*R);for (int i = 0; i < n; i++) {int m = hash_full(A[i], R, v);while (hash[m]) //若数据存在，则循环后移一位，注意：当散列全满了，这里是一个死循环，实际应用中，请自行添加判断m = (m + 1) % (R*R);hash[m] = A[i];printf("[%d] is %d\n", m, hash[m]);}hash_seed_free(v);delete[] hash;
}

结果补一张（很明显至少有一个碰撞，但是通过后移一位，解决了这个问题，总体来说效果很不错。最后完全散列很容易在此基础上修改，就不发代码了。各位创新下！！！思路就是在每个对应hash值处，生成一个R*R链表，看需求实现吧！！！）：

第二次运行就不存在碰撞了，上一个测试图吧。

所有代码均经过测试，结果正确

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