[ZJOI2005]沼泽鳄鱼

~~今天继续攻集训队论文的我~~

题意

一张无向图,不超过 50 50 50 个点
起点 s s s 终点 t" role="presentation">ttt
一个单位时间移动一次
一些食人鱼作周期运动长度不超过 4 4 4
人不能碰到食人鱼
时刻 u" role="presentation">uuu 到达终点 u<=2∗109 u <= 2 ∗ 10 9 u

分析

引理

我们观察数据发现 n n n十分的小,那么就可以直接用邻接矩阵
而且有一种矩阵叫矩阵乘法
对于一张(无向)图:G" role="presentation">GGG

G[i][j]=1表示i−>j有一条边 G [ i ] [ j ] = 1 表示 i − > j 有一条边

G[i][j] = 1 表示 i - > j 有一条边
那么我们想一想 G2 G 2 G^2表示的意义是什么:

G′[a][b]=∑k=0NG[a][k]∗G[k][b] G ′ [ a ] [ b ] = ∑ k = 0 N G [ a ] [ k ] ∗ G [ k ] [ b ]

G^{'}[a][b] = \sum_{k=0}^{N}G[a][k] * G[k][b]
那么是不是就是表示走2布的时候a−>b的方案数走 2 布的时候 a − > b 的方案数走2布的时候 a->b的方案数,那么以此类推
走 k k k布的方案数就是Gk" role="presentation">GkGkG^k了!

此题分析

我们用 Ak A k A_k 表示走 k k k布的情况下的方案数
而Gi" role="presentation">GiGiG_i表示在走第 i i i 布是的图的情况(0,1)表示
那么如果没有食人鱼的话就是:

Ak=Gk" role="presentation">Ak=GkAk=Gk

A_k = G^k

Gu=Gu−1∗Gk G u = G u − 1 ∗ G k

G^u = G^{u-1} * G_k
那么如果有食人鱼的话就是

Ak=Ak−1∗Gk A k = A k − 1 ∗ G k

A_k = A_{k-1} * G_k
那么我们看见食人鱼的循环是 2,3,4 2 , 3 , 4 2,3,4不等,但是 lcm(2,3,4)=12 l c m ( 2 , 3 , 4 ) = 12 lcm(2,3,4) = 12
也就是意味着 G1=G13 G 1 = G 13 G_1 = G_{13} 这两张图是一样的
那么我们可以 O(n3) O ( n 3 ) O(n^3) 预处理出add矩阵

add=∏k=012Gk a d d = ∏ k = 0 12 G k

add = \prod_{k=0}^{12} G_k

a=k/12,b=k a = k / 12 , b = k

a = k / 12 , b = k % 12
那么答案的矩阵就是:

final=pow(add,a)∗∏1bGi记住矩阵乘法的左乘和右乘是不一样的 f i n a l = p o w ( a d d , a ) ∗ ∏ 1 b G i 记住矩阵乘法的左乘和右乘是不一样的

final = pow(add,a) * \prod_{1}^b G_i 记住矩阵乘法的左乘和右乘是不一样的
复杂度 O(n3log2q) O ( n 3 l o g 2 q ) O(n^3log_2{q})

代码:

#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 55
#define M 25
#define R register
using namespace std;int n, m, s, t, K, x, y, Nfish, Pow_time, leftn, ff[N], att[N][10];struct matrix
{int a[N][N];matrix(){memset(a, 0, sizeof a);}
} G[20], fuu, ans, fff;inline matrix operator * (matrix x, matrix y)
{matrix z;for(R int i = 0; i < n; ++i)for(R int j = 0; j < n; ++j)for(R int k = 0; k < n; ++k){z.a[i][j] += x.a[i][k] * y.a[k][j];if(z.a[i][j] > 10000) z.a[i][j] %= 10000;}return z;
}inline matrix Pow(matrix now, int y)
{matrix res;for(R int i = 0; i < n; ++i) res.a[i][i] = 1;while(y){if(y & 1) res = res * now;now = now * now;y >>= 1;}return res;
}inline void init()
{for(R int i = 1; i <= 12; i++){G[i] = fuu;for(R int j = 1; j <= Nfish; j++){int to = att[j][((i + 1) % ff[j]) ? ((i + 1) % ff[j]) : ff[j]];for(R int k = 0; k < n; k++)G[i].a[k][to] = 0;}}
}inline matrix solve()
{Pow_time = K / 12;leftn = K % 12;matrix ans, fff;for(R int i = 0; i < n; ++i) ans.a[i][i] = fff.a[i][i] = 1;for(R int i = 1; i <= 12; ++i) fff = fff * G[i];ans = ans * Pow(fff, Pow_time);for(R int i = 1; i <= leftn; ++i){ans = ans * G[i];}return ans;
}inline int read()
{int x=0;char c=getchar();bool flag=0;while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')flag=1;   c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}return flag?-x:x;
}int main()
{n = read(), m = read(), s = read(), t = read(), K = read();for(R int i = 1; i <= m; ++i){x = read(), y = read();fuu.a[x][y] = fuu.a[y][x] = 1;}Nfish = read();for(R int i = 1; i <= Nfish; ++i){ff[i] = read();for(int j = 1; j <= ff[i]; ++j)att[i][j] = read();}init();ans = solve();printf("%d\n", ans.a[s][t]);return 0;
}

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