8.2 换元积分法与分布积分法

一、换元积分法

定理 4：（第一类换元积分法）
\quad设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 III 上有定义，φ(x)\varphi(x)φ(x) 在区间 JJJ 上可导，且 φ(J)⊂I\varphi(J) \subset Iφ(J)⊂I. 若不定积分 ∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x) dx = F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C 在区间 III 上存在，则不定积分 ∫f(φ(t))φ′(t)dt\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt∫f(φ(t))φ′(t)dt 在区间 JJJ 上也存在，且满足：
∫f(φ(t))φ(t)dt=F(φ(t))+C,t∈J,C为任意常数.\int f(\varphi(t)) \varphi(t)dt = F(\varphi(t)) + C,\quad t \in J,C \text{为任意常数}. ∫f(φ(t))φ(t)dt=F(φ(t))+C,t∈J,C为任意常数.

证明：

\quad易知，F(x)F(x)F(x) 在区间 III 上可导，φ(t)\varphi(t)φ(t) 在区间 JJJ 上可导，且 φ(J)⊂I\varphi(J) \subset Iφ(J)⊂I. 由复合函数的求导法则可得：
导数形式：[F(φ(t))]′=F′(φ(t))⋅φ′(t)=f(φ(t))φ′(t),t∈J微分形式：dF(φ(t))=f(φ(t))φ′(t)dt,t∈J\begin{aligned} \text{导数形式：}[F(\varphi(t))]' &= F'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) = f(\varphi(t))\varphi'(t) ,\quad t \in J \\ \\ \text{微分形式：}dF(\varphi(t)) &= f(\varphi(t))\varphi'(t)dt,\quad t \in J \end{aligned} 导数形式：[F(φ(t))]′微分形式：dF(φ(t))=F′(φ(t))⋅φ′(t)=f(φ(t))φ′(t),t∈J=f(φ(t))φ′(t)dt,t∈J
因此，F(φ(t))F(\varphi(t))F(φ(t)) 是 f(φ(t))φ′(t)f(\varphi(t))\varphi'(t)f(φ(t))φ′(t) 在区间 JJJ 上的一个原函数，由原函数的性质，定理得证。

证毕

注意：由于 dF(x)=f(x)dxdF(x) =f(x)dxdF(x)=f(x)dx，dφ(t)=φ′(t)dtd\varphi(t) = \varphi'(t)dtdφ(t)=φ′(t)dt，于是：
∫f(φ(t))φ′(t)dt=φ(t)=x∫f(x)dx=F(x)+C=x=φ(t)F(φ(t))+C\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt \xlongequal{\varphi \left( t \right) = x} \int f(x) dx = F(x) + C \xlongequal{x = \varphi(t)} F(\varphi(t)) + C ∫f(φ(t))φ′(t)dtφ(t)=x∫f(x)dx=F(x)+Cx=φ(t)F(φ(t))+C
因此，第一类换元积分法 又称为 “凑微分法”.

定理5：（第二类换元积分法）
\quad 设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 III 上有定义，函数 φ(t)\varphi(t)φ(t) 在区间 JJJ 上可导、φ(J)⊂I\varphi(J) \subset Iφ(J)⊂I，且 x=φ(t)x = \varphi(t)x=φ(t) 在区间 JJJ 上存在反函数 t=φ−1(x),x∈It = \varphi^{-1}(x),x \in It=φ−1(x),x∈I. 则若不定积分 ∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x) dx = F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C 在区间 III 上存在、不定积分 ∫f(φ(t))φ′(t)dt=G(t)+C\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=G(t) + C∫f(φ(t))φ′(t)dt=G(t)+C 在区间 JJJ 上也存在时，不定积分
∫f(x)dx=G(φ−1(x))+C\int f(x)dx = G(\varphi^{-1}(x)) + C ∫f(x)dx=G(φ−1(x))+C
在区间 III 上同样存在.
证明：
\quad由复合函数的求导法则可得：
[F(φ(t))]′=F′(φ(t))⋅φ′(t)=f(φ(t))φ′(t),t∈J[F(\varphi(t))]' = F'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) = f(\varphi(t))\varphi'(t) ,\quad t \in J [F(φ(t))]′=F′(φ(t))⋅φ′(t)=f(φ(t))φ′(t),t∈J
显然，函数 F(φ(t))F(\varphi(t))F(φ(t))、G(t)G(t)G(t) 均是函数 f(φ(t))f(\varphi(t))f(φ(t)) 在区间 JJJ 上的原函数.
\quad由原函数的性质，存在常数 C1C_1C1 使得：
F(φ(t))=G(t)+C1F(\varphi(t)) = G(t) + C_1 F(φ(t))=G(t)+C1
从而有：
F(x)=G(φ−1(x))+C1F(x) = G(\varphi^{-1}(x)) + C_1 F(x)=G(φ−1(x))+C1
等式两边同时对 xxx 求导，则有：
f(x)=[G(φ−1(x))]′f(x) = [G(\varphi^{-1}(x))]' f(x)=[G(φ−1(x))]′
因此，函数 [G(φ−1(x))][G(\varphi^{-1}(x))][G(φ−1(x))] 也是函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 III 上的一个原函数，即有：
∫f(x)dx=G(φ−1(x))+C.\int f(x)dx = G(\varphi^{-1}(x)) + C. ∫f(x)dx=G(φ−1(x))+C.

证毕

注意：

（1）在定理条件成立的情况下，有
∫f(x)dx=x=φ(t)∫f(φ(t))φ′(t)dt=G(t)+c=t=φ−1(x)G(φ−1(x))+C.\int f(x)dx \xlongequal{x = \varphi(t)} \int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=G(t) + c \xlongequal{t = \varphi^{-1}(x)} G(\varphi^{-1}(x)) + C. ∫f(x)dxx=φ(t)∫f(φ(t))φ′(t)dt=G(t)+ct=φ−1(x)G(φ−1(x))+C.
因此，第二类换元积分法 又称为 代入换元法.
（2）定理条件中的 “∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x) dx =F(x) + C∫f(x)dx=F(x)+C 在区间 III 上存在” 是 必不可少 的！
示例：f(x)={1,x∈(0,8]0,x=0f\left( x \right) =\begin{cases}\begin{matrix}1,& x\,\,\in \left( 0,8 \right]\\\end{matrix}\\\begin{matrix}0,& x=0\\\end{matrix}\\\end{cases}f(x)={1,x∈(0,8]0,x=0，显然，函数 x=t3,t∈[0,2]x=t^3,t \in [0,2]x=t3,t∈[0,2] 在区间 [0,2][0,2][0,2] 上存在反函数，并且在区间 (0,2](0,2](0,2] 上成立：
∫f(t3)⋅(t3)′dt=∫3t2dt=t3+C\int f(t^3)\cdot (t^3)'dt = \int 3t^2 dt = t^3 + C ∫f(t3)⋅(t3)′dt=∫3t2dt=t3+C
当 t=0t=0t=0 时，成立：(t3+C)′∣t=0=(f(t3)⋅t3)∣t=0(t^3+C)' |_{t=0} = (f(t^3)\cdot t^3)|_{t=0}(t3+C)′∣t=0=(f(t3)⋅t3)∣t=0，因此在区间 [0,2][0,2][0,2] 上成立：
∫f(t3)⋅(t3)′dt=∫3t2dt=t3+C\int f(t^3)\cdot (t^3)'dt = \int 3t^2 dt = t^3 + C ∫f(t3)⋅(t3)′dt=∫3t2dt=t3+C
但显然，函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [0,8][0,8][0,8] 上有第一类间断点 000，因此没有原函数.
（3）通过 (2)可以看出，理条件中的 “∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x) dx =F(x) + C∫f(x)dx=F(x)+C 在区间 III 上存在” 必不可少，这样一来，定理挺长的，我们可以通过增强定理条件，对其进行简化：
（增强版的第二类换元积分法）：
\quad 设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 III 上有定义，函数 φ(t)\varphi(t)φ(t) 在区间 JJJ 上可导、φ(J)⊂I\varphi(J) \subset Iφ(J)⊂I，且 x=φ(t)x = \varphi(t)x=φ(t) 在区间 JJJ 上存在可导的反函数 t=φ−1(x),x∈It = \varphi^{-1}(x),x \in It=φ−1(x),x∈I. 则不定积分 ∫f(φ(t))φ′(t)dt=G(t)+C\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=G(t) + C∫f(φ(t))φ′(t)dt=G(t)+C 在区间 JJJ 上存在时，不定积分
∫f(x)dx=G(φ−1(x))+C\int f(x)dx = G(\varphi^{-1}(x)) + C ∫f(x)dx=G(φ−1(x))+C
在区间 III 上也存在.
证明：
\quad 由反函数求导定理及复合函数求导定理，此时：
ddxG(φ−1(x))=G′(φ−1(x))⋅[φ−1(x)]′=f(φ(t))φ′(t)⋅1φ(t)=f(φ(t))=f(x)\frac{d}{dx}G(\varphi^{-1}(x)) = G'(\varphi^{-1}(x))\cdot [\varphi^{-1}(x)]' = f(\varphi(t))\varphi'(t)\cdot \frac{1}{\varphi(t)} = f(\varphi(t))=f(x) dxdG(φ−1(x))=G′(φ−1(x))⋅[φ−1(x)]′=f(φ(t))φ′(t)⋅φ(t)1=f(φ(t))=f(x)
因此，G(φ−1(x))G(\varphi^{-1}(x))G(φ−1(x)) 是函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 III 上的一个原函数，即：
∫f(x)dx=G(φ−1(x))+C\int f(x)dx = G(\varphi^{-1}(x)) + C ∫f(x)dx=G(φ−1(x))+C

证毕

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