[因子背包] CF1647D Madoka and the Best School in Russia

由这次的D题从杜老师那学会的比较新奇的背包，我暂且将其命名为因子背包
题意：
一个数xxx被称为好数，当且仅当他被ddd整除而不被d2d^2d2整除。
给定一个数nnn，问是否有超过两种组成方式，让它成为一个或若干个好数的乘积。
TTT组询问，T<=100T<=100T<=100，n,d<=109n,d<=10^9n,d<=109

Solution 1
首先定然可以很暴力的将所有nnn的好数因子给找出来，我们需要的就是用这些数来构成nnn。
由于一个数可以用若干次，所以其实本质上这是一个完全背包问题，我们考虑正常的完全背包我们咋做的。
F[i][j]=F[i−1][j]+F[i−1][j/d[i]]F[i][j]=F[i-1][j]+F[i-1][j/d[i]]F[i][j]=F[i−1][j]+F[i−1][j/d[i]]，第一维可以滚掉，也就是F[j]+=F[j/d[i]]F[j]+=F[j/d[i]]F[j]+=F[j/d[i]]
问题来了，由于值域太大，我们不可能遍历整个值域来做这个背包，但这时我们发现由于最后能对F[n]F[n]F[n]做出贡献的只有nnn的因子，而对nnn的因子做出贡献的则是nnn的因子的因子（也是nnn的因子），因此我们只需要从小到大遍历nnn的所有因子（最多也就130013001300个左右），这样最终贡献给F[n]F[n]F[n]的答案一定是正确的。

现在只剩下一个问题了，虽然我们只需要遍历nnn的所有因子，但是这些因子可能也很大，并不能直接开一个这么大的数组。
我会map！
额，多了个logloglog，这题好像有可能会T。
那咋办？
可以用一个“双指针”的方法，我们开两个数组id[1e5+5],gid[1e5+5]id[1e5+5],gid[1e5+5]id[1e5+5],gid[1e5+5]
对于每一个因子c[i]c[i]c[i]，如果他小于等于1e51e51e5，那么我们就将id[c[i]]=iid[c[i]]=iid[c[i]]=i，否则gid[n/c[i]]=igid[n/c[i]]=igid[n/c[i]]=i，这样就可以把值域全部映射回因子个数里，用的时候也判断一下要用的数是通过ididid还是gidgidgid存放的即可。

Code:

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#define ll long long
#define lowbit(x) x&(-x)
#define mp make_pair
#define rep(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int maxn=1e7+5;
const int maxm=1e5;
inline int read()
{int x=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c-'0');c=getchar();}return x*f;
}
int T;
int f[2050];
int id[100050],gid[100050];
int tot,c[2050];
signed main()
{T=read();while(T--){tot=0;int n=read(),d=read();for(int i=1;i*i<=n;i++){if(n%i==0) {if(n/i==i) c[++tot]=i;else c[++tot]=i,c[++tot]=n/i;}   }sort(c+1,c+tot+1);for(int i=1;i<=tot;i++){if(c[i]<=maxm) id[c[i]]=i;else gid[n/c[i]]=i;}f[1]=1;for(int i=1;i<=tot;i++){if((c[i]%d==0)&&((c[i]/d)%d!=0)){for(int j=1;j<=tot;j++){if((n/c[i])%c[j]==0){int x=c[i]*c[j];int y=(x<=maxm)?id[x]:gid[n/x];f[y]=min(f[y]+f[j],2);}}}}if(f[tot]>=2) cout<<"Yes"<<endl;else cout<<"No"<<endl;   for(int i=1;i<=tot;i++) f[i]=0;}}

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