椭圆极点极线性质_笔记:关于极点极线的一些思考

在此鸣谢敬爱的陈hh老师，他在数学课上向我们介绍了极点极线的相关知识。

首先要先说明一件事，我们可以通过平移、旋转、伸缩坐标系的方式从特殊的椭圆曲线（

）构造出一般的二次曲线,具体方法是：令

，再将

代入原方程即可。而且可以证明这种变换可以保持本文探讨的性质，所以只用探究一般圆锥曲线即可。第一节与第二节结论的相似性也印证了这一观点。这可以从另一则笔记中得出。

下边是较为严谨的解析证明：

一、圆锥曲线极点极线

圆锥曲线极点极线定义如下：

如果圆锥曲线的切于A,B两点的切线相交于P点，那么P点称为直线AB关于该曲线的极点(pole)，直线AB称为P点的极线(polar)。

双曲线

圆

抛物线

下面让我们先来算一下点关于圆的极线。

首先是切线的一个引理：

Lem 1: 二次曲线方程切线解析式为:

证明：

二次曲线

对

求导:

代入直线方程:

结合原方程

整理得:

证毕|

所以我们得到圆的切线:

下面证明一个有意思的结论。

Thm 1:点

极线为

，于是，极线可以看作“任意位置点的切线方程”。

证明：

过

的切线的切点坐标以如下方式解出：

联立方程

解的两组解

。（这里原切线方程的

就是

,而原来的

带入了

的坐标

)

将两点代入直线方程后即为P的极线：

结合

整理即可得:

证毕|

由此,一个有趣的事实,我们并不用解出具体的切点,甚至我们不会用到

。

我们可以用相同的方法探究抛物线和双曲线的极线方程。同样，证明中只需要对应的切线方程。它们对应方程为：

抛物线：

双曲线：

通过观察不难发现，

地位是等价的，这意味着

也在它的极线上的任意一点的极线上。

二、二次曲线极线

一个显然的猜测是二次曲线极线也只与其对应切线方程有关，下证之。

Thm 2: 一般二次曲线中

的极线与此曲线的切线形式相同。

证明:

记两根之差为:

联立直线方程,切线方程得:

整理(1)并代入(2)得:

继续利用切线方程:

进行整理,即可得:

证毕|

同样,

地位等价。

三、来自陈hh老师的有趣结论

Def 调和：即满足交比

等于1。

Thm 3:过点

任意做直线交曲线

于

,交

关于

的极线于

,则:

四点调和。（此命题的解析证明我不会，如果有学长会证的敬请指教）

证明：

用射影几何知识，结合圆的调和四边形的定义即可得，关于射影变换的解析表示，可以参考另一则笔记。

圆内情形：

是

的极线，

是任意割线，则四边形

是调和四边形。（关于调和四边形，具体参考命题人讲座圆的那一章）

调和四边形有性质:对于任意

在圆上，

四线调和。

于是当

重，命题即得证。

证毕|

几个推论：

（常用结论）如图1,

求证:

（据说中考题经常出现这个结论...）

2.可以推广圆内的调和四边形,由极线和极点出发定义二次曲线中的调和四边形。

3.许多调和的常用结论可以应用到所有二次曲线上，结论还有很多，以后看到再补上。

本文作者刚刚接触高中数学,数学功底薄弱,且初中时习惯不好,喜欢跳步。如有发现证明漏洞的,敬请指教。如果认为作者对数学概念理解有误或看法过于肤浅的，请勿喷。