我们曾经在《平面二次曲线的相关直线》中讨论过一般的二次曲线极点与极线，即直接由二次曲线的方程得出已知极点对应的极线方程，并发现了其中的一致性，这便是平面二次曲线的统一性质之一。我们说过所谓的平面二次曲线其实就是通常所说的圆锥曲线，这一点是可以证明的，这不是本文的内容，有兴趣的读者可以自行去互联网上搜索这方面的资料，本文将给出几个性质作为引例。

从课本中，我们已经得出圆锥曲线的一条统一性质，就是圆锥曲线的第二定义，其内容是：动点到定点的距离与到定直线的距离之比为一常数e，当

时，动点的轨迹为椭圆，当
时，动点的轨迹为抛物线，当
时，动点的轨迹为双曲线。其中e被称为离心率，定点称为焦点，定直线称为准线，焦点到准线的距离称为焦准距，焦点到动点的线段称为焦半径。如果我们以焦点为原点，过焦点垂直于准线的直线为x轴，建立直角坐标系，便可以由此得出圆锥曲线的统一直角坐标方程。

如上图所示，

为准线，
，由第二定义可得：
，即
，两边平方化简可得：

这就是圆锥曲线的统一直角坐标方程，其中

就是焦准距，为了保证得到的是圆锥曲线，自然有
。

我们将使用此方程来讨论一下圆锥曲线的弦长。

设一直线过x轴上一点

，且倾角为
，则此直线的参数方程为：
，并设此直线交圆锥曲线于
、
两点。将直线方程带入统一方程中去，可得：
。

于是弦长

，

其中

，
，
，A不等于0。

我们不妨称为圆锥曲线统一弦长公式。

由于直线的斜率

，由
便可以用斜率来求解。

特别的，当

时，即直线AB通过焦点，此时，便得到圆锥曲线的焦点弦长公式：
，对于椭圆和双曲线的标准方程，焦准距
。

定理：过圆锥曲线准线与对称轴的交点引其切线，则切线与对称轴的夹角的正切值等于离心率。

由我们对圆锥曲线统一直角坐标方程的推导中，x轴就是对称轴，准线方程为

，O为焦点，则有
。

证明：设直线AB的方程为

，
，代入统一方程中，消去y得：
，

由于AB是切线，所以

，即：

所以

，即
。

由于切线可以引上下两条，所以

有正负。

本文未完，日后将会持续更新一些新的性质！

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