行列式的基本定义与性质(笔记)
行列式的基本定义与性质(笔记)
- 一级目录行列式的基本概念
- 二阶行列式
- 三阶行列式
- 基本名词概念
- 行列式的性质
- 行列式按行展开
- 行列式的计算
一级目录行列式的基本概念
二阶行列式
交叉相乘,然后相减
| a b |
| c d | = ad - cb
主对角线:从左上角到右下角
次对角线:从右上角到左下角
三阶行列式
| 1 2 3 |
| 4 5 6 | = 159 + 267 + 483 - 357 - 681 - 249
| 7 8 9 |
计算规则:从左到右的是正,且每一组都为3个元素;
从右到左的是负,且每一组的元素也都是3个。
基本名词概念
排序:由1,2,…,n组成m个排序数组叫做n级排序(中间不能缺少任何一个数)
n级排序有 n*(n-1)* … 321 = n!个
逆序:大的数排在小的数前面
逆序数:逆序的总数(每一个数后面的每一个小数都算一个逆序)
奇(偶)排序:一个排序的逆序数是奇数还是偶数
N(123…n) = 0:N一个括号表示一个排序的逆序数计算,这种逆序数为0的排序也叫自热排序(标准排序)。
对换:交换两个数
定理1:一个交换,改变一次排序的奇偶性
定理2:n级排序中,奇数排序与偶数排序各占2/n!个(各占一半)
行列式的性质
性质1、DT = D
转置的含义:行列式的行变成了列,列变成了行,转置完的行列式叫DT
| 1 2 3 | | 1 1 8 |
D = | 1 1 1 | => DT = | 2 1 8 |
| 8 8 8 | | 3 1 8 |
性质2、对行成立的条件对列同样成立
性质3、两行互换,值变号
性质3的推论:两行(列)相等,D = 0
性质4、某一行(列)乘于k,等于行列式结果乘于k
性质4的推论:行列式的某一行有公因子k,k可以提出来
性质5、两行元素成比例关系,D = 0
由性质3(推论)与性质4可以得出
性质5的推论:某一行全是0,D = 0
性质6、行列式的某一行,如果由两个数相加,可以拆分成两个数相加
| 1 2 3 | | 1 2 3 | | 1 2 3 |
| 7+8 2+3 9+10 | = | 7 2 9 | + | 8 3 10|
| 8 8 8 | | 8 8 8 | | 8 8 8 |
性质7、某一行乘于一个数,加到另一行上去,D不变(非常重要)
由性质5与性质6可以得出
行列式按行展开
行列式的计算
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