椭圆极点极线性质_【气贯长虹】教你认清极点极线的真面目虽粗浅,但绝对受益!!!...
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距高考还有20天
极点与极线是高等几何中一个基本且重要的概念,虽然在中学教材中没有具体介绍,但以它为背景命制的高考试题却经常出现。因此,掌握极点极线的基本知识,很多时候能够让我们俯视问题的本质,从而以最优的视角确定解题方向,寻找更便捷的解题途径。
1
极点极线定义
我们都知道,一般的二次曲线基本形式为:而圆锥曲线仅是在某些系数为0的条件下的特例。
我们称点
和直线
为配极关系(对偶关系),其中点
为直线
的极点,直线
为点
的极线。其实这个极线,记起来也特别简单:①平方换成对应积:
②一次方换成对应平均数:
③交叉项换成对应交叉积的平均数:
当然,对于圆锥曲线来说,是没有交叉项的。所以,只要记住:“平方换成积,一次方换成平均数“就一切OK了!
好了,知道了极点、极线的概念及写法,我们就可以进一步在圆锥曲线中去理解它了。至于这么好的结论是怎么发现的,也就没必要追究太深了……
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2
圆锥曲线中极点极线
其实,圆锥曲线中的极点与极线,就目前高考而言,务必要熟悉其中的几个性质。为了方便,下面我都以椭圆为例来进行说明或展示。至于双曲线和抛物线,处理方法和结论也都是类似的。一、位置关系:①当点在椭圆上时,极线
是以点
为切点的切线;
②当点
在椭圆外时,极线
与曲线相交,且为由点
向椭圆所引切线的切点弦所在直线;
③当点
在椭圆内时,极线
与椭圆相离,极线
为经过点
的弦在两端点处切线交点的轨迹。且极线
与以
为中点的弦所在直线平行.
当然,还要知道的是,如果极点为焦点,则极线为准线。(极点极线关系的动态演示)二、比例关系④若过点
的直线与曲线交于A,B两点,与极线
交于点Q,则必有:
如果从定比分点的角度看,即点Q和点P分弦AB之比总是相等。
3
极点极线的应用
一、判断直线与曲线的位置关系从两个小题可以看出,其实任何一条直线都可以看成曲线的极线的。只是一定要将直线方程写成极线方程的形式。那么,在读完题后,脑子里就已经知道了答案,心里是不是觉得很爽歪歪呢!
二、直线过定点问题
第2问其实就是考查极点极线的概念了。
所以说,除了记住相关结论之外,还是要理解结论的证明过程,这样在再次相遇时,才能淡定从容的去应对。
那么,现在知道了这样的结论后,是不是以后遇到直线过定点的问题,要先了解下是否会有一条隐含的极线呢?
三、动点在定直线上
虽说这道考题是以极点极线为背景的,但其实更多的,还是考查一个学生应对解析几何问题的整体思路。
当然,过程中对方程问题的处理技巧,也确实能够反映一个人的数学功底了。
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