prim算法最小生成树

Prim算法

Prim算法的由来

Prim算法利用了MST的性质：假设N= (V,E)是一个连通图，U是顶点集V的一个非空子集，若（u，v）是一条最小权值的边，其中u属于U,v属于V-U,则必存在一颗包含（u，v）的最小生成树。
Prim算法的实现
普里姆算法的实现假设一个无向网G以邻接矩阵形式存储,从顶点u出发构造G的最小生成树T,要求输出T的各条边。为实现这个算法需附设一个辅助数组closedge,以记录从U到V-U具有最小权值的边。。对每个顶点v∈V-U,在辅助数组中存在一个相应分量closedge[i-1],它包括两个域:lowcost和adjvex,其中lowcost存储最小边上的权值,adjvex存储最小边在U中的那个顶点。显然,closedge[i-1].-lowcost=min{cost(u,vi)lu∈U}其中cost(u,v)表示赋于边(u,v)的权。
图例：

 //辅助数组结构typedef struct{string adjvex;//最小边在U的那个顶点int lowcost;//最小边的权值}closedge[MVNum];//辅助数组结构

Prim算法步骤
①首先将初始顶点u加入U中,对其余的每一个顶点,将closedge均初始化为到u的边信息。
②循环n-1次,做如下处理:
● 从各组边closedge中选出最小边closedge[k],输出此边;
●将k加入U中;
●更新剩余的每组最小边信息closedgel,对于V-U中的边,新增加了一条从k到j的边,如果新边的权值比closedge.lowcost小,则将closedgelowcost更新为新边的权值。
运行结果
实现代码
（邻接矩阵和邻接表分别实现）


/*邻接矩阵实现若要邻接表实现，初始化V时，只需将生成树的顶点的邻接边的权值赋给辅助数组，其余的全部辅为maxint更新最小边时同样如此
*/#include<iostream>#include<string>using namespace std;#define OK 1#define ERROR 0#define MAXint 32767 //表示无穷大#define MVNum 100    //最大顶点数//邻接矩阵的结构typedef struct{string vexs[MVNum];//顶点表int arcs[MVNum][MVNum];//邻接矩阵，也就是表示边的权值int vexnum, arcnum;//图的顶点数和边的个数}AMGraph;//邻接矩阵的结构//邻接表的结构typedef struct ArcNode {//边结点int adjvex;//该边所指向的顶点的位置struct  ArcNode* nextarc;//指向下一条边的指针int info;//和边相关的信息}ArcNode;typedef struct {//顶点信息string data;ArcNode* firstarc;//指向第一条依附该顶点的边的指针}VNode, AdjList[MVNum];typedef struct//邻接表{AdjList vertices;//顶点信息int vexnum, arcnum;//图的当前顶点数和边数}ALGraph;//邻接表的结构//查询结点位置int Locate(AMGraph G, string v){for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){if (G.vexs[i] == v){return i;}}return -1;}//查询结点位置int Locate(ALGraph G, string v)//Locate重载{for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){if (G.vertices[i].data == v){return i;}}return -1;}//辅助数组结构typedef struct{string adjvex;//最小边在U的那个顶点int lowcost;//最小边的权值}closedge[MVNum];//辅助数组结构//创建邻接矩阵int CreateUDN(AMGraph& G)//无向图的构造{cout << "请输入图的顶点数和边数：";cin >> G.vexnum >> G.arcnum;cout << "请输入各点的信息：";for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){cin >> G.vexs[i];}for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//初始化边的权值为MAXINT{for (int j = 0; j < G.vexnum; j++){G.arcs[i][j] = MAXint;}}cout << "各边的顶点信息和权值：";for (int k = 0; k < G.arcnum; k++)//构造邻接矩阵{string v1, v2;int w;//边的两个顶点以及权值cin >> v1 >> v2 >> w;int i = Locate(G, v1);//找到点的位置int j = Locate(G, v2);G.arcs[i][j] = w;//赋予权值G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];}return OK;}//创建邻接矩阵//创建邻接表int CreateUDG(ALGraph& G){cout << "请输入图的顶点数和边数：";cin >> G.vexnum >> G.arcnum;//输入顶点数和边数cout << "请输入各个顶点的信息：";for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//初始化顶点信息{cin >> G.vertices[i].data;//输入顶点的信息G.vertices[i].firstarc = NULL;//firstarc置空}cout << "请输入各边的顶点信息和权值：";for (int k = 0; k < G.arcnum; k++){string v1, v2;int weight;//权值cin >> v1 >> v2 >> weight;//输入一条边依附的两个顶点int i = Locate(G, v1);int j = Locate(G, v2);ArcNode* p1 = new ArcNode;p1->info = weight;p1->adjvex = j;p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;G.vertices[i].firstarc = p1;ArcNode* p2 = new ArcNode;p2->info = weight;p2->adjvex = i;p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;G.vertices[j].firstarc = p2;}return OK;}//创建邻接表//找到权值最小的边int Min(closedge s,int len){int min = MAXint;int k = -1;for (int i = 0; i < len; i++){if (s[i].lowcost < min && s[i].lowcost != 0){min = s[i].lowcost;k = i;}}return k;}//找到权值最小的边//prim最小生成树算法void MiniSpanTree_Prim(AMGraph G, string u){closedge close;int k = Locate(G, u);//k为顶点u的下标for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//对V-U的每一个顶点vj,初始化close;{if (k != i){close[i] = { u,G.arcs[k][i] };}}close[k].lowcost = 0;//初始化U,此时U中只有u一个顶点for (int i = 1; i < G.vexnum; i++){k = Min(close,G.vexnum);//找到与u权值最小的边string u0 = close[k].adjvex;//最小边的一个顶点string v0 = G.vexs[k];//最小边的另一个顶点cout << u0 <<"-"<< v0 << endl;//输出最小边close[k].lowcost = 0;//把此顶点并入U集for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//新节点并入U后重新选择最小边{if (G.arcs[k][i] < close[i].lowcost){close[i] = {G.vexs[k],G.arcs[k][i]};}}}}//prim最小生成树算法//prim最小生成树算法void MiniSpanTree_Prim(ALGraph G, string u){closedge close;int k = Locate(G, u);//k为顶点u的下标for (int i = 0; i < G.vexnum; i++){close[i] = { u,MAXint };}ArcNode* p = new ArcNode;p = G.vertices[k].firstarc;while (p){close[p->adjvex] = { u,p->info };p = p->nextarc;}close[k].lowcost = 0;//初始化U,此时U中只有u一个顶点for (int i = 1; i < G.vexnum; i++){k = Min(close, G.vexnum);//找到与u权值最小的边string u0 = close[k].adjvex;//最小边的一个顶点string v0 = G.vertices[k].data;//最小边的另一个顶点cout << u0 << "-" << v0 << endl;//输出最小边close[k].lowcost = 0;//把此顶点并入U集ArcNode* arc = G.vertices[k].firstarc;while (arc){if (arc->info < close[arc->adjvex].lowcost){close[arc->adjvex] = {G.vertices[k].data,arc->info};}arc = arc->nextarc;}}}//prim最小生成树算法/*v1 v2 v3 v4 v5 v6v1 v2 6 v1 v3 1 v1 v4 5 v3 v2 5 v3 v4 5 v3 v5 6 v3 v6 4 v2 v5 3 v5 v6 6 v4 v6 2v1*/int main(){ALGraph G;CreateUDG(G);cout << "您要构造的最小生成树的起点：";string v;cin >> v;MiniSpanTree_Prim(G, v);return 0;
}

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