【概述】

对于两个数列 $\{f_i\}$ 、 $\{g_i\}$ ，他们之间满足 $g_n=\sum_{i=0}^n a[n][i]f_i$ ，此时，若已知数组 a 和数列 $\{f_i\}$ ，则可以推出 $\{g_i\}$

那么反演过程就是找到一个数组 b，通过使用 $\{g_i\}$ 的值，来反推出 $\{f_i\}$ ，即： $f_n=\sum_{i=0}^n b[n][i]g_i$

如果只考虑上面两个公式，整个方程组实际上是一个下三角矩阵的形式，因此从本质上来说，反演是一个解线性方程组的过程。

引入克罗内克函数： $\delta (i,j)=\left\{\begin{matrix}1 ,i= j \\ 0,i\neq j \end{matrix}\right.$

由 $g_n=\sum_{i=0}^n a[n][i]f_i$ 可得 $g_i=\sum_{j=0}^i a[i][j]f_j$

考虑反演的过程： $f_n=\sum_{i=0}^n b[n][i]g_i$ ，将 $g_i$ 代入，有：

$\begin{align*}f_n &=\sum_{i=0}^nb[n][i]g_i \\ &=\sum_{i=0}^nb[n][i]\sum_{j=0}^ia[i][j]f_j \\ &=\sum_{i=0}^nf_i\sum_{j=i}^nb[n][j]*a[j][i]\end{align*}$

对于最后一步，实质上是交换了求和顺序，将第二步按照矩阵形式写出，有：

$\begin{bmatrix} b[n][0]*a[0][0]f_0 & & & \\ b[n][1]*a[1][0]f_0 & b[n][1]*a[1][1]f_1 & & \\ b[n][2]*a[2][0]f_0 & b[n][2]*a[2][1]f_1 & b[n][2]*a[2][2]f_2 & \\ ...& ... & \ddots & \\ b[n][n]*a[n][0]f_0& b[n][n]*a[n][1]f_1 & ... & b[n][n]*a[n][n]f_n \end{bmatrix}$

可以看出，第二步是先对行进行，再将各行相加，那么第三步就是对列进行，然后再将各列相加，考虑每一个 $f_i$ 的系数，显然只有 $f_n$ 的系数为 1

那么反演式 $f_n=\sum_{i=0}^n b[n][i]g_i$ 成立的充要条件是： $\sum_{j=i}^nb[n][j]*a[j][i]=\delta(i,j)$

同理，将 f 代入 g 的求和式中，可以推出： $\sum_{j=i}^na[n][j]*b[j][i]=\delta(n,i)$

也就是说，如果某个数列满足上面两个条件，就可以直接建立起反演公式。

可以发现，快速傅里叶变换与逆变换、第一类斯特林数、第二类斯特林数、二项式定理等满足这个条件，可以视为是一个反演的过程。

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