牛客练习赛50 F.tokitsukaze and Another Protoss and Zerg(分治+NTT)(模板题)

题目

在n场1v1中，假设第i场，有ai个星灵单位，和bi个虫族单位。

tokitsukaze可以在一场1v1中，任选一种种族进行游戏。

如果选择了星灵，那么在这场游戏中，可以选择出兵1到ai个单位。

那么同理，如果选择了虫族，那么在这场游戏中，可以选择出兵1到bi个单位。
tokitsukaze想知道，恰好选择了0,1,2,3,...,个星灵单位的方案数分别是多少。

由于答案很大，所以输出答案mod 998244353 后的结果。

假设所有星灵单位互不相同，所有异虫单位也互不相同。

注意：若两个方案，有其中一个单位不同，即视为不相同。

n<=1e5，ai<=2e5，bi<=1e5，。

题解

考虑生成函数为，

$(c_{0}*1+c_{1}*x+...+c_{a_{1}}*x^{a_{1}})*...*(c_{0}*1+c_{1}*x+...+c_{a_{n}}*x^{a_{n}})$

c0即选b[i]的非空子集，方案数 $2^{b[i]}-1$

其余ck(1<=k<=ai)即从a[i]中选k个，方案数 $C_{a_{i}}^{k}$

放入系数之后，直接分治+NTT即可，

开始试了一发分治+FFT炸了精度

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1<<18,mod=998244353,G=3;int n,sum;
int a[N],b[N],fac[N],finv[N];ll A[N],B[N],inv;
int R[N];
int power(int x,int n)
{int res=1;for(;n;n>>=1,x=1ll*x*x%mod)if(n&1)res=1ll*res*x%mod;return res;
}
vector <int> colors[N<<1];
struct cmp{bool operator ()(int a,int b){return colors[a].size()>colors[b].size();}
};
priority_queue <int,vector<int>,cmp> heap;
void NTT(ll a[],int n,int re){for (int i=0;i<n;i++)if (i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);for(int i=2;i<=n;i<<=1){ll mid=i>>1;ll wn=power(G,(mod-1)/i);if(re) wn=power(wn,(mod-2));for(int j=0;j<n;j+=i){ll w=1;for(int k=0;k<mid;k++){ll temp1=a[j+k];ll temp2=a[j+k+mid]*w%mod;a[j+k]=(temp1+temp2)%mod;a[j+k+mid]=(temp1-temp2);a[j+k+mid]=(a[j+k+mid]%mod+mod)%mod;w=w*wn%mod;}}}if(re){for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(a[i]*inv)%mod;}
}
void NTT_times(vector <int> &a,vector <int> &b,vector <int> &c){int n,d;for (int i=0;i<a.size();i++)A[i]=a[i];for (int i=0;i<b.size();i++)B[i]=b[i];for (n=1,d=0;n<a.size()+b.size()-1;n<<=1,d++);inv=power(n,mod-2);for (int i=0;i<n;i++){R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));}for (int i=a.size();i<n;i++)A[i]=0;for (int i=b.size();i<n;i++)B[i]=0;NTT(A,n,0),NTT(B,n,0);for (int i=0;i<n;i++)A[i]=A[i]*B[i]%mod;NTT(A,n,1);c.clear();for (int i=0;i<=a.size()+b.size()-2;i++)c.push_back(A[i]%mod);
}
void init()
{fac[0]=finv[0]=1;for(int i=1;i<N;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;finv[N-1]=power(fac[N-1],mod-2);for(int i=N-2;i>=1;--i)finv[i]=1ll*finv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int C(int n,int m)
{if(m<0||n<m)return 0;return 1ll*fac[n]*finv[m]%mod*finv[n-m]%mod;
}
int main(){init();scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%d",&a[i]);sum+=a[i];}for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&b[i]);while (!heap.empty())heap.pop();int sz=0;for (int i=1;i<=n;i++){colors[++sz].clear();colors[sz].push_back(power(2,b[i])-1);//选b[i]的一个非空子集 for(int j=1;j<=a[i];++j)colors[sz].push_back(C(a[i],j));//a[i]里面选j个heap.push(sz);}while (heap.size()>=2){int x=heap.top();heap.pop();int y=heap.top();heap.pop();NTT_times(colors[x],colors[y],colors[++sz]);colors[x].clear(),colors[y].clear();heap.push(sz);}for(int i=0;i<=sum;++i)printf("%d%c",colors[sz][i],i==sum?'\n':' ');return 0;
}

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