1450F The Struggling Contestant（贪心+思维）

Codeforces Global Round 12

F. The Struggling Contestant

题面：The Struggling Contestant

题意：有一个长度为 nnn 的序列 arrarrarr，其序号 ppp 分别为 1...n1...n1...n，现在需要对其进行重新排列，使得最终的序列满足 arr[i]≠arr[i+1],1≤i<narr[i] \ne arr[i+1],1\le i < narr[i]=arr[i+1],1≤i<n 的最小 “跨度” 是多少，一个排列的 ”跨度“ 定义为满足 ∣pi−pi+1∣>1,1≤i<n|p_i-p_{i+1}| > 1,1\le i < n∣pi−pi+1∣>1,1≤i<n 的 iii 的数量。

范围：1≤n≤1e5,1≤ai≤n1 \le n \le 1e5, 1 \le a_i \le n1≤n≤1e5,1≤ai≤n。

分析：显然在初始状态下面的 ”跨度“ 最小，我们应该尽可能少的改变当前序列的相对顺序，但是如果存在了数字相同的相邻元素，那么就必须进行额外操作。假设数组中只存在两个数字相同并且这两个数字相邻，比如 123341233412334，这个时候我们要把 333333 拆开，最优的是 341233412334123，即将 343434 一起移动。进一步分析可以发现除了相邻的相同数字，其他的数字都不需要单独进行操作，整段整段地移动就好了。因此我们可以根据相邻元素是否相同把数组分割成若干段，每段只需要关注两个端点，那么现在的问题就转换为如何重新排序与分割这些段来获取答案。

定义当前序列中 f(x)f(x)f(x) 为 xxx 作为端点出现的次数，如果左右端点为一个点的话需要计算两次。

当前的局面下存在可行解的条件为 max(f(x))≤k+2max(f(x)) \le k + 2max(f(x))≤k+2，kkk 表示相邻相同数字对的数量，证明如下：

当前有 k+1k+1k+1 个段，共 2k+22k+22k+2 个端点，除去左右 222 个独立的端点，中间还剩下 2k2k2k 个相邻的点，最多只能选择其中 kkk 个点，因此 f(x)f(x)f(x) 最大为 k+2k + 2k+2。
现在证明 max(f(x))≤k+2max(f(x)) \le k+2max(f(x))≤k+2 一定可以构造出一个解。假设 xxx 为出现次数最多的数，选择一段以 xxx 为端点的段，再选择一段以 y≠xy \ne xy=x 为端点的段，让 xxx 与 yyy 相邻将两段融合为一个新的段，此时 k,f(x),f(y)k,f(x),f(y)k,f(x),f(y) 均减一，f(x),f(y)≤k+2f(x),f(y) \le k+2f(x),f(y)≤k+2 仍然满足。对于 z≠x≠yz \ne x \ne yz=x=y，在融合 x,yx,yx,y 之前 f(z)≤2k+2−f(x)≤2k+2−f(z)f(z) \le 2k+2-f(x) \le 2k+2-f(z)f(z)≤2k+2−f(x)≤2k+2−f(z)，即 f(z)≤k+1f(z) \le k+1f(z)≤k+1，在融合 x,yx,yx,y 之后 kkk 减一，f(z)≤k+2f(z) \le k+2f(z)≤k+2 仍然满足。这样，每次将 kkk 减一直到 000，构造完毕，操作次数为 kkk。

现在考虑 max(f(x))>k+2max(f(x)) > k+2max(f(x))>k+2 的情况，之前都是把一整段看做整体，现在考虑如何通过切割段使得 max(f(x))≤k+2max(f(x)) \le k+2max(f(x))≤k+2 满足，从而得到答案。

如果我们在切割的位置左右两个元素中包含了 xxx，那么会导致 f(x),kf(x),kf(x),k 均增加，max(f(x))>k+2max(f(x)) > k+2max(f(x))>k+2 的情况不会改变。所以我们需在要两个元素 y≠x,z≠xy\ne x,z \ne xy=x,z=x 中间进行分割，这样会导致 kkk 增加，重复这样的过程直到 max(f(x))≤k+2max(f(x)) \le k+2max(f(x))≤k+2，操作次数为 max(f(x))−(k+2)max(f(x)) - (k + 2)max(f(x))−(k+2)。

注意最多只会存在一个 xxx 满足 f(x)>k+2f(x) > k+2f(x)>k+2。

因此最终的答案为 k+max(0,max(f(x))−(k+2))k + max(0, max(f(x)) - (k + 2))k+max(0,max(f(x))−(k+2))。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define double long double
using namespace std;inline int read()
{int s = 0, w = 1;char ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9'){if (ch == '-')w = -1;ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9')s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar();return s * w;
}const int MAXN = 1e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-9;
const double PI = acos(-1.0);int n, m, k;int arr[MAXN];int cnt[MAXN], num[MAXN];signed main()
{int T = read();while (T--){n = read();for (int i = 0; i <= n; i++){cnt[i] = num[i] = 0;}int k = 0;for (int i = 0; i < n; i++){arr[i] = read();num[arr[i]]++;if (i && arr[i] == arr[i - 1]){k++;cnt[arr[i]] += 2;}}cnt[arr[0]]++, cnt[arr[n - 1]]++;int max_cnt = 0, max_num = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){max_cnt = max(max_cnt, cnt[i]);max_num = max(max_num, num[i]);}if (max_num * 2 > n + 1) cout << -1 << endl;else cout << k + max(0ll, max_cnt - (k + 2)) << endl;}return 0;
}

【END】感谢观看

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