已知航天器在中心天体O附近的位置矢量和速度矢量，如何求解该航天器的轨道？如果是一枚弹道导弹，如何预测落点？解决这些问题，实质都是求解航天器的轨道。本文将利用开普勒第二定律推导航天器的轨道参数，并对轨道的一元二次方程解的形式进行讨论，解释不同的解情况意味着什么。最后，利用东方红一号卫星的轨道数据进行了验证。

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一、问题

已知航天器在中心天体O附近的位置矢量和速度矢量，如何求解该航天器的轨道？

假设仅有一个中心天体，其质量远大于航天器质量。当航天速度小于中心天体的第二宇宙速度时，则其被中心天体捕获，轨道为椭圆形，中心天体在椭圆的一个焦点上。对于椭圆轨道而言，只要我们确定了近地点PE（Perigee）和远地点AP（Apogee）距离中心天体的距离，就能得到整个椭圆轨道的方程。

二、求解

根据开普勒第二定律，行星与中心天体连线，在相同时间内扫过的面积相等。假设航天器初始位置是A，速度方向是v，在t时间内运行到了B点，即扫过的面积为OAB。需要注意的是，由于AB段是弧线，因此OAB是一个不规则形状。我们假设时间t是一个很短的时间dt，则可以将OAB近似为一个三角形。则开普勒第二定律可以表示为：三角形OAB的面积随时间的变化速率为一个定值。

用公式来表示则为

如右图所示，这个三角形的OA和OB分别为初始时的位置矢量r和末位置矢量r'，AB为速度v的方向。在dt的时间内，AB段近似为直线，长度为vdt。三角形OAB的面积可以表示为底边OA乘B点的高度。已知初始位置矢量r和速度矢量的夹角，则面积可表示为

面积变化速率为常数，则

为了求得椭圆轨道，我们只需要知道O到PE点和AP点的距离，而PE点和AP点处速度矢量与位置矢量垂直，夹角为90度。我们任选PE点或AP点，设定其速度为v距离为r。根据题目，我们已知轨道上某一点A处的速度和位置矢量的大小和方向，假设大小和夹角分别为​，为满足开普勒第二定律，则

上面这个形式是不是看着很眼熟。
其实，他就是角动量守恒的变型。在这个引力系中，航天器的角动量守恒。角动量的表示是

​，其中r表示位矢，p表示动量，中间那个乘号是向量的叉乘，而叉乘也正好对应了上式中夹角的正弦项。

因此，开普勒第二定律，实际是角动量守恒的几何解释。

这个方程有两个变量，分别是r和v，因此我们还需要一个方程。

在质量为M的单个中心天体的引力系中，满足机械能守恒，即动能与势能之和为0。我们以无穷远处为零势能点，则距离为r，速度为v处，质量为m的航天器机械能为

其中G为引力常数。为了保证航天器被中心天体束缚，在接近无穷远处速度一定要为零，否则就逃逸。因此上式中的Const常数在航天器被捕获的情况下恒为负数。

根据机械能守恒方程，我们可以建立第二个等式

至此，我们得到了两个方程

将（2）式两边同时乘r的平方，将（1）式带入，可以得到关于r的一元二次方程

我们可以很容易地利用公式得到这个一元二次方程的解

当根号不为零时，方程有两个解，分别对应着近地点PE和远地点AP的轨道高度。当根号为零时，表示两个解相等，这意味着轨道为圆轨道。那么，这个根号内部是否有可能小于零呢？

三、讨论

接下来，我们重点分析一下根号内部的情况。将上面的两个常数带入，我们进一步化简根号的内部

由此可知，根号内部是一个平方项，满足大于等于0，不会小于零。我们发现这样的方程不会出现无解情况，这似乎超出了我们的预期：我们可能会认为无解应该对应着逃逸轨道。其实这也很好理解，我们在计算轨道时已经假定是椭圆轨道而进行推导，逃逸轨道属于双曲线轨道，并不符合假定。所以我们的椭圆轨道计算方程一直是有解的。

为什么这两个解分别对应了近地点和远地点。我们可以利用经验来简单地解释一下。首先，上述的解变为

接下来，我们来想办法去掉绝对值的符号。

前面提到，常数C2是小于零的，因此

至此，我们仅能知道绝对值内最大值，无法知道下限是否能小于0。如果我们换一种方式来理解绝对值内部的情况，将会变得很有意思

这个式子等于零的条件是轨道为正圆，在正圆轨道的任意一点，如果我们加速（减速），都会导致远地点速度变小，近地点速度变大，进入一个更大（更小）的椭圆轨道。从而产生一个大v一个小v两个解，正好印证了大v会导致绝对值内部大于零，小v导致绝对值内部小于零。

四、验证

我们选取我国发射的第一颗卫星——东方红一号的轨道数据进行验证。选取卫星处于远地点附近的数据，轨道速度6.52km/s，轨道高度2035.04km，假设位置矢量与速度矢量夹角为90度。地球半径带入6371km，地球质量取5.965E24kg，万有引力常量取6.67E-11。计算得到C1为5.48E10，C2为-2.60748E7，则AP点和PE点分别为8422km和6836km，AP点和PE点的高度分别为2051km和465km。实际卫星的AP和PE点高度分别为2035km和438km。我们的方程计算误差小于30km。考虑到实际卫星飞行是多体引力问题，而且低轨会有大气减速效应，这样的误差是可以接受的。

（卫星数据来源：http://stuffin.space/）

东方红一号卫星在天上已经飞行了五十多年了，远地点轨道也下降了几百公里。由于近地点较高，它将仍然在太空中飞行着。它是中国人太空征程的起点，意义非凡。也许将来的某一天，我国的航天技术发展到可以将其带回地球，即使那时，我们也始终不会忘记在追逐星辰大海的路上，一代代航天人不懈拼搏的壮美画面！