本文属于「数论」系列文章之一。这一系列着重于数论算法的学习和应用。由于内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏数论算法系列文章汇总目录一文以作备忘。此外，在本系列学习文章中，为了透彻理解数论知识，本人参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料。以下是本文的不完全参考目录，在后续学习中还会逐渐补充：

数论算法，姜建国、臧明相编著，西安电子科技大学出版社

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1. 素数的定义及性质

1. 素数的定义及性质

定义1.1.2 设整数 a≠0,±1a \ne 0, \pm 1a=0,±1 ，如果它除了显然约数 ±1,±a\pm 1, \pm a±1,±a 外没有其他的约数，则称 aaa 为素数（或质数、不可约数）；若 a≠0,±1a\ne 0, \pm 1a=0,±1 ，且 aaa 不是素数，则称 aaa 为合数。
约定：本系列文章所说的素数一般指正整数。这是因为当 a≠0,±1a\ne 0, \pm 1a=0,±1 时，a,−aa, -aa,−a 必同时为素数或合数，故由整除的性质知，对正素数成立的结论一般对负素数也成立。

定理1.1.1（1）大于 111 的最小正因数必是素数。
（2）nnn 是正整数，若对所有满足 2≤p≤n2\le p\le \sqrt{n}2≤p≤n 的 ppp 而言，有 p∤np\nmid np∤n ，则 nnn 是素数。
证明（1）显然。
（2）反证法。若 nnn 是合数（数理逻辑中的假设前提），则存在 1<a≤b1< a\le b1<a≤b 使得 n=abn = abn=ab ，那么必有 2≤a≤n2 \le a \le \sqrt{n}2≤a≤n（知 b=nab = \dfrac{n}{a}b=an ，则有 a≤b=naa \le b = \dfrac{n}{a}a≤b=an 即 a2≤na^2 \le na2≤n ）且 a∣na \mid na∣n ，与已知条件矛盾。故 nnn 必是素数。

定理1.1.1(2)的一个应用，就是减少在素数判断时的运算量，提高判断效率。因为判断一个正奇数 n(n>2)n (n \gt 2)n(n>2) 的素性（即判断 nnn 是否为素数；大于 222 的偶数一定不是素数）的最简单、直观的方法之一就是穷举法。即用每个小于 nnn 的奇素数 qqq 试除 nnn ，当每个 q∤nq\nmid nq∤n 时则说明 nnn 是素数。而定理1.1.1(2)告诉我们，此时只需要对小于等于 n\sqrt{n}n 的奇素数 qqq 进行穷举即可。

定理1.1.2 素数有无穷多。（如何证明素数有无穷多个？知乎）
证明反证法。

假设只有有限个素数（注意：已约定素数一定是正整数），它们是 p1,p2,…,pkp_1, p_2, \dots, p_kp1,p2,…,pk 。
考虑 a=p1p2…pk+1a = p_1p_2\dots p_k+1a=p1p2…pk+1 ，易知 a>2a > 2a>2 且 a≠pi(i=1,2,…,k)a\ne p_i\ (i = 1, 2, \dots, k)a=pi (i=1,2,…,k) ，所以 aaa 必是合数（aaa 不在假设的有限个素数中）。从而知必存在素数 ppp ，使得 p∣ap\mid ap∣a 。
又由假设，知 ppp 为有限个素数之一且必等于某个 pjp_jpj ，于是 p=pjp = p_jp=pj 一定整除 p1p2…pkp_1p_2\dots p_kp1p2…pk 。
根据性质1.1.3，有 p∣a−p1p2…pk=1p \mid a - p_1p_2\dots p_k = 1p∣a−p1p2…pk=1 。由于 p=pj≥2p = p_j \ge 2p=pj≥2 ，这一推论是不可能的，矛盾。
因此，假设是错误的，即素数必有无穷多个。于是，aaa 可能是素数（此时 aaa 就是比 pkp_kpk 更大的素数）、也可能是合数……

设 p1=2,p2=3,p3=5,p4=7,p5=11,…p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7, p_5 = 11, \dotsp1=2,p2=3,p3=5,p4=7,p5=11,… 是全体素数按大小顺序排成的序列，以及 ak=p1p2…pk+1a_k = p_1p_2\dots p_k + 1ak=p1p2…pk+1 ，直接计算可得：
a1=3,a2=7,a3=31,a4=211,a5=2311,a6=59⋅509,a7=19⋅97⋅277,a8=347⋅27953a9=317⋅703763,a10=331⋅571⋅34231\begin{aligned} &a_1 = 3, a_2 = 7, a_3 = 31, a_4 = 211, a_5 = 2311, \\ &a_6 = 59\cdot 509, a_7 = 19\cdot 97 \cdot 277, a_8 = 347 \cdot 27953 \\ &a_9 = 317 \cdot 703763, a_{10} = 331 \cdot 571 \cdot 34231 \end{aligned} a1=3,a2=7,a3=31,a4=211,a5=2311,a6=59⋅509,a7=19⋅97⋅277,a8=347⋅27953a9=317⋅703763,a10=331⋅571⋅34231

不难发现，前五个 a1∼a5a_1 \sim a_5a1∼a5 是素数，后五个 a6∼a10a_6 \sim a_{10}a6∼a10 是合数，但 aka_kak 都有一个比 pkp_kpk 更大的素因数。

数论中目前还未解决的问题之一就是：不知道是否有无穷多个 kkk 使得 aka_kak 是素数，也不知道是否有无穷多个 kkk 使得 aka_kak 是合数。

【例1】求 303030 以内的素数。
解：利用定义1.1.2，直接逐个计算，可知 303030 以内的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,292, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 292,3,5,7,11,13,17,19,23,29

【例2】试判断 127127127 的素性。
解：因为 11<127<1211 < \sqrt{127} < 1211<127<12 ，故只需用奇素数 3,5,7,113, 5, 7, 113,5,7,11 试除 127127127 即可，可知 127127127 为素数。

由此可得到求 111 到 nnn 之间素数的一种有效算法—— Eratosthenes 埃利特斯拉筛法。具体来说，为了求出不超过正整数 nnn 的全部素数，只要在 111 到 nnn 的列表中删去 111 和不超过 nnn 的所有正合数，则剩下的数即为所求素数。

由定理1.1.1知，不超过 nnn 的正合数 aaa 必至少有一个素因数 ppp ，满足 2≤p≤a≤n2 \le p \le \sqrt{a} \le \sqrt{n}2≤p≤a≤n ，故只要先求出不超过 n\sqrt{n}n 的全部素数 p1,p2,…,pkp_1, p_2, \dots, p_kp1,p2,…,pk ，并依此将 111 到 nnn 的列表中除了 p1,p2,…,pkp_1, p_2, \dots, p_kp1,p2,…,pk 本身以外的数中是「p1,p2,…,pkp_1, p_2, \dots, p_kp1,p2,…,pk 各自的倍数」的数全部删去，就等于删去了不超过 nnn 的全部正合数。然后再删去 111 ，剩下的正好就是不超过 nnn 的全部素数。

例如，欲求出不超过两位数的素数，先构造 111 到 999999 间正整数的列表，估计出 99<10\sqrt{99} < 1099<10 ，然后求出小于 101010 的素数 2,3,5,72, 3, 5, 72,3,5,7 ，在列表中删去 111 ，再从中分别删去大于 2,3,5,72, 3, 5, 72,3,5,7 且为其倍数的数，即得全部两位数的素数。可知，没有删去的数有：
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,972, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, \\ 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 972,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

共有 252525 个素数，它们就是不超过两位数的全部素数。若再从这 252525 个数出发，重复上述过程，就可以找出不超过 92292^2922（更准确的说是小于 1012101^21012 ）的全部素数。

当然，数学过程和算法实现之间并不完全相同，学过埃式筛法的实现就会明白这一点。

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