传递函数波特图的理解（2）

在传递函数波特图的画法和理解（1）的博文中有

低频时开环传递函数幅值越大，指令跟踪效果越好，增益越大，系统稳态误差越小；
中频段，决定了系统的稳定性和动态性能，对应着截止频率，就有对应的相角裕度；
大于截止频率的高频段反映了系统的抗噪能力，幅值越小，对高频噪声的抑制能力越好，这就需要高频段幅频曲线斜率较陡；
中频段斜率最好是-20dB/dec并保持较宽的频带；

问题1：为何是增益越大，系统的稳态误差越小呢？

我们用熟悉的运放解释问题。

首先控制原理中，有

图（1）

自动控制原理中从E（s）输入端来定义误差，即给定与反馈的偏差。输出端的误差是输出的期望值与偏差值，其值是E(s)/H(s)。

而稳态误差说的是当时间趋于无穷时误差信号的稳态分量（误差信号有瞬态分量和稳态分量）。

通过框图可得，E(s)=R(s)-B(s)，而B(s)=E(s)*G(s)*H(s)

可得稳态误差为 $E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}$ ...........公式1

一个同相相放大器的如何写成上图中的结构，

图（2）

图（2）中的G（s）为运算的增益，H（s）是反馈为1k/(1k+1k)为1/2。

根据公式1得 $E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)*0.5}$ .............公式2

当同相输入为2V时，G=100时，根据公式2可得E（s）=0.0392

当同相输入为2V时，G=1000时，根据公式2可得E（s）=0.003992

下面搭建仿真，用PSIM搭建，可设置运放的增益。

增益100如下图

右边的DC GAIN Ao是增益，上图中增益为100，可见输入为2V时，误差为2-1.96001=0.03999。与理论计算接近，差异应该是是运放不理想导致。

增益1000如下图

上图中增益为1000，可见输入为2V时，误差为2-1.99593=0.00407。与理论计算接近，差异应该是是运放不理想导致。

综上，增益越大，系统的稳态误差越小。

问题2：如果要稳态无误差如何？

依旧可用运放说明问题，根据运放的开环增益图，可见常见的运放会呈现增益如下图，是LM358datasheet中的图，

见到此图插一句题外话，我们说闭环能提高带宽，带宽的定义是-3db点的频率，如上图闭环后（红色线），增益降低到20db而带宽提高到了100k左右。

物理的运放始终存在增益不可能无穷大，所以同相放大器始终会存在稳态误差，只是相对大小的问题。

而在自动控制中，我们一般会将系统校准为典型1型和典型2型。其波特图如下图

在低频段为-20dB和-40dB，

根据拉斯变换的终值定理此时当S趋于0时，在时域是t趋于无穷，

从一型和二型的开环传递函数可得出，S趋于0时，开环增益无穷大，表征稳态无误差（此处只是浅显理解，因为1型系统和2型系统，在不同的输入信号下，稳态误差不同，如下）

系统中一般会存在积分环节，在有偏差时，积分累加，无偏差时，积分停止累加，这样控制系统可实现无稳态误差。

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