这些CVX介绍，主要是翻译CVX官网上面的使用手册，主要目的还是记录吧= =方便查阅

再给出一遍地址http://web.cvxr.com/cvx/doc/sdp.html 可以进去进行英文的对照。

那些熟悉半定规划(SDP)的人知道，在上述关于集合成员关系的讨论中利用集合semidefinite(n)的约束实际上通常用线性矩阵不等式(LMI)表示来表示。例如，给定

，约束条件X⪰0表示

; 也就是说X是正半定的。

当使用SDP模式时，CVX以不同的方式解释某些不等式约束。 具体来说：

1、平等约束解释相同(即元素)。

2、涉及向量和标量的不等式约束被解释为相同的; 即元素。

3、涉及非平方矩阵的不等式约束是不允许的; 试图使用它们会导致错误。 如果您希望对矩阵X和Y进行真正的元素比较，请使用矢量化操作X(:) <= Y(:)或vec(X)<= vec(Y)。 (vec是由CVX提供的一个功能，相当于冒号操作。)

4、涉及实矩阵的不等式约束解释如下：

X >= Y becomes X - Y == semidefinite(n)

X <= Y becomes Y - X == semidefinite(n)

如果任何一方都很复杂，那么不平等就被解释如下：

X >= Y becomes X - Y == hermitian_semidefinite(n)

X <= Y becomes Y - X == hermitian_semidefinite(n)

5、还有一个额外的限制：X和Y必须是相同的大小，或者一个必须是标量零。 例如，如果X和Y是大小为n的矩阵，

X >= 1 or 1 >= Y illegal

X >= ones(n,n) or ones(n,n) >= Y legal

X >= 0 or 0 >= Y legal

实际上，CVX对LMI约束的不等式运算符进行更严格的解释。

6、请注意，LMI约束在其输入上强制实施对称(实或Hermitian)。 与SDPSOL不同，CVX不会为您提取对称部分：您必须小心保证自己的对称性。 由于CVX支持对称矩阵的声明，这是相当简单的。 如果CVX无法确定LMI是否对称于合理的数值容差范围内，则会发出警告。 我们提供了一个函数sym(X)来提取方阵的对称部分; 即sym(X)= 0.5 *(X + X’)。

7、双变量(如果提供)将应用于转换后的相等约束。 如果找到最佳点，它将被赋予一个正半定值。

所以，例如，文件examples / closest_toeplitz_sdp.m中的CVX模型，

cvx_begin

variable Z(n,n) hermitian toeplitz

dual variable Q

minimize( norm( Z - P, 'fro' ) )

Z == hermitian_semidefinite( n ) : Q;

cvx_end

可以被写为：

cvx_begin sdp

variable Z(n,n) hermitian toeplitz

dual variable Q

minimize( norm( Z - P, 'fro' ) )

Z >= 0 : Q;

cvx_end

CVX示例库中的许多其他示例都使用半定约束;他们都使用SDP模式。要找到它们，只需使用您最喜欢的文件搜索工具在examples /子目录树中搜索文本cvx_begin sdp。其中一个例子转载于索引对偶变量中。

由于semidefinite编程是流行的，有些人可能会奇怪为什么SDP模式不是默认的行为。其原因是我们非常重视保持Matlab原生行为与CVX原生行为之间的一致性。使用> =，<=，>， = 0将变量Z约束为正半定。但是，在模型解决之后，Z已经被一个数值所取代，表达式Z> = 0将测试Z的元素非负性。为了验证Z的数值实际上是正半定，你必须执行像min(eig(Z))> = 0的测试。