矩阵是否正定/负定、半正定/半负定的判断

2024-04-19 02:21:09

矩阵是否正定/负定、半正定/半负定的判断

一、常用定义

正定矩阵：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z’Mz>0，其中z’表示z的转置；
负定矩阵：一个n阶的实对称矩阵M是负定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z’Mz<0，其中z’表示z的转置；
半正定矩阵：一个n阶的实对称矩阵M是半正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z’Mz≥0，其中z’表示z的转置；
半负定矩阵：一个n阶的实对称矩阵M是半负定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z’Mz≤0，其中z’表示z的转置。

二、矩阵正定/负定

（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
（2）计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均为正，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，则A为负定的。
（3）若A合同于单位阵，则A是正定的。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C’AC=B，则称方阵A合同于矩阵B。

三、矩阵半正定/半负定

（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均非负，则A是半正定的；若A的特征值均非正，则A为半负定的。
（2）计算A的所有主子式。若A的所有主子式均非负，则A是半正定的。

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