什么是拉格朗日插值多项式在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日(插值)多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后(1783年)由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。

——百度百科

数学表示形式

平面上有

共

个点，构造最高为

次的多项式函数

最终的Ln(x)Ln(x)化简后会得出最高不超过n−1n−1次的过平面上nn个点的多项式

Python中的实现可以使用Jupyter方便操作

引用相关科学计算库

import numpy as np

from matplotlib import pyplot as plt

import matplotlib

核心代码：实现pk(x)pk(x)和Ln(x)Ln(x)

def p(k,targs): # 运用闭包返回p_k(x)

def rtn_func(x):

rtn=1

for i in targs: # 累乘

if i==k: continue # i!=k

rtn*=x-i[0]

rtn/=k[0]-i[0]

rtn*=k[1]

return rtn

return rtn_func

def L(*targs): # 运用闭包返回L(x)

funcs=[p(i,targs) for i in targs] # 获取p_k(x)

def rtn_func(x):

rtn=0

for i in funcs:rtn+=i(x)# 执行累加

return rtn

return rtn_func

输入待拟合的数据，绘图

data=[[1,1],[2,2],[3,2],[4,6],[5,-1],[0,-1]]

func=L(*data) # 返回多项式函数

x=np.arange(0,5,0.1) # 范围[0,5)，间隔0.1

y=[func(i) for i in x] # 获取值

plt.title("Lagrange Interpolation Polynomial")

plt.plot(x,y)

plt.show() # 运用matplotlib显示图像

结果如图：

Python优化

def p(args,ex):

def loop(largs):

if len(largs)==1:return [1,-largs[0]]

dp=loop(largs[1:])

return [-largs[0]*i+j for i,j in zip([0]+dp,dp+[0])]

largs=list(args)

largs.remove(ex)

div=1

for i in largs:

div*=ex[0]-i[0]

return [i*ex[1]/div for i in loop(list(zip(*largs))[0])]

def L(*args):

lists=[p(args,i) for i in args]

ans=[sum(i) for i in zip(*lists)]

ans.reverse()

def rtn_func(x):

return sum([a*x**i for i,a in enumerate(ans)])

return rtn_func

很短，能用，速度快，直接计算出多项式系数，无需循环

至于快了多少，见测试(测试环境：i5-8650U笔记本，未插电)

print('Time test:')

# data gen

data=[[0,0]]

for i in range(0,63):

data.append([data[i][0]+np.random.ranf(),np.random.ranf()])

print('#1 func gen')

%time func_new=new_L(*data)

%time func=L(*data)

print('#2 calc')

x=np.arange(0,100,0.01)

%time y1=[func_new(i) for i in x]

%time y2=[func(i) for i in x]

输出：

Time test:

#1 func gen

Wall time: 36 ms

Wall time: 0 ns

#2 calc

Wall time: 429 ms

Wall time: 26.7 s

虽然函数预处理需要更长的时间，但是运算时快了不止一个量级文章同步发布于我的博客：Dust's Bloghttps://dustsblog.tk/posts/2020/04/23/lagrange-in-python.html​dustsblog.tk