数学建模灵敏度分析_数学建模中的灵敏度分析，到底在分析什么？

—2019/6/13—

概念

在数学建模中使用最优化方法时，我们常常会忽略对模型进行灵敏度分析，若缺少这一个步骤，会使得模型的可靠度受到质疑，那到底什么是灵敏度分析？

参考百度：灵敏度分析，是研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。

说人话，就是改变模型（公式）的某个参数，引起这个模型输出的变化的程度。

举例说明

一头牛重200斤，每天增重5斤，饲料每天花费45元。牛的市场价是每斤65元，但目前行情不好，每天下降1元，求出这头牛的最佳销售时间。

这是一个很简单的单变量优化问题。求这头牛的最佳销售时间，就是求卖出价格最高的时间，为了求出这个时间，我们假设：

销售时间

牛的重量

牛的价格

饲料花费

卖出牛的收益

净收益

于是有，

，其中，

，

，即得到

净收益模型如下：

…………………………………(1)

容易得出当

时，

取最大值13320元。

其实，大多数情况下，问题到这里就已划上句号。但现实生活中，稍微细心一点，我们会发现，在上述模型的参数中，牛的重量，当前市场价格、每天饲料钱3个参数都是很容易测量的，即确定性较大，但牛的生长率和市场价格的下降率2个参数则不是那么好确定，例子中虽然规定了市场价格下降率

，但实际中，每天的

都是不一样的。于是我们会有一个疑惑——

是不是对于所有的市场价格下降率，这个模型都适用？

为了消除疑惑，我们分别随便选取原下降率（1元/天）周围的几个数

来进行研究。

根据公式(1)，分别得出

，得下图：

从图中可以看出，牛最佳卖出时间

随着市场价格下降率

的变化而变化，这时候我们称：

牛的卖出最佳时间

对市场价格下降率

是敏感的！

但是究竟有多敏感，就要进行灵敏度分析（敲黑板！！！划重点！！！）。

灵敏度分析，就是将市场价格下降率

作为未知参数，计算最佳卖出时间

和

关系

。这时候，将例子中的“每天下降1元”改成“每天下降

元”，净收益模型就变成：

对

求导，

令

的点为

………………………………………(2)

至此，我们已经得到了一种灵敏性关系——

关系，绘制

关系图如下：

公式(2)和上图的意义在于——作为牛贩子，我能确定一个

关系，确保我在不同

下，都能确定最佳卖牛时间

。当

时，最佳卖出时间就由公式(2)给出；当

时，

，这会导致

是一个始终下降的曲线，这意味着，最佳卖牛时间为

，也就是说，一旦市场价格下降率

，需要当天就把牛卖掉，这时候饲养牛已经没有任何经济价值了。

然而，在实际使用中，我们更多地是将这种灵敏性关系表示成相对改变量或百分比改变的形式。例如，

的10%的下降，导致了

的38%的增加。如果

的改变量为

，则

的相对改变量为

，百分比改变量为

，如果

改变了

，导致

有

的改变量，则相对改变量的比值为

与

的比值，令

，由导数定义，有

业内，称极限值

就是

对

的

灵敏性，记为

。

灵敏性有啥用？

比如，在这个例子中，有

在点

和

，

也就是说，在点

，

若市场价格下降率

增加 1%，则最佳卖牛时间

下降3.5%。

结语

本文仅分析了市场价格下降率

和最佳卖牛时间

的灵敏性关系，但可能还存在其他的关系，比如牛的重量增长率和最佳卖牛时间

的关系等，灵敏性分析的成功需要分析者具有较好的判断力，通常我们不需要对模型中的每个参数都进行灵敏性分析，只需要选择那些有

较大不确定性的参数进行灵敏性分析即可。

参考文献

数学建模方法与分析（原书第4版）/（美）Meerschaert, M. M. 著；刘来福，黄海洋，杨淳译.—北京：机械工业出版社, 2014.12：1-9.

—2019/6/18—更新

上述主要是对以下2个问题进行了说明：

一个模型为什么要进行灵敏度分析？
如何进行灵敏度分析？

这次更新目的是说明第3个问题：如何判断灵敏度分析的效果？

先摆出结果：

如果你改变了系统参数后，引起这个模型（公式）输出的变化的程度不大，则说明你的模型稳定性较强（即灵敏性较差），反之则反！

用上述例子说明，

改变了1%，

仅下降3.5%，这个改变很小，这就可以说明模型较为稳定；若

改变了1%，

下降了35%，那这个模型绝逼是不稳定的！