ICPC 亚洲区域赛（上海）

G-Fibonacci

题目

斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，…

可以看到，这个数列有以下特点：

奇，奇，偶，奇，奇，偶…

当 xxx 与 yyy 相乘为偶数时，g(x,y)=1g(x, y) = 1g(x,y)=1。

计算 ∑i=1n∑j=i+1ng(fi,fj)\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^ng(f_i,f_j)∑i=1n∑j=i+1ng(fi,fj)

第一步

当 xxx 或 yyy 中其中一个为偶数时，他们相乘也为偶数。

当 iii 为偶数时，jjj 从 i+1i+1i+1 到 nnn 与它相乘，得到的结果也为偶数。而 jjj 从 i+1i+1i+1 到 nnn ，一共有 n−in - in−i 个数，因此就有ans += n - i;

当iii 为奇数时，若jjj 从 i+1i+1i+1 到 nnn 中，有 kkk 个偶数，那么答案也会加 kkk 。

那么这个 kkk 怎么求呢？

每三个数中，就有一个数为偶数。在给定的 nnn 个数中，就有 n/3n/3n/3 个数为偶数。

比如，nnn 等于 101010 ，该斐波那契数列为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,551,1,2,3,5,8,13,21,34,551,1,2,3,5,8,13,21,34,55 ，其中的偶数只有 2,8,342,8,342,8,34 ，个数刚好为 10/3=310/3 = 310/3=3

因此从第 111 到 iii 个数中，一共有 i/3i/3i/3 个偶数。从第 111 到 nnn 个数中，一共有 n/3n/3n/3 个偶数。

那么，从第 i+1i+1i+1 到 nnn 个数中，有 n/3−i/3n/3-i/3n/3−i/3个偶数，所以 k=n/3−i/3k=n/3-i/3k=n/3−i/3

即，当 iii 为奇数时，有 ans += n/3 - i/3 ;

然后，就可以写出这样的代码：

#include<bits/stdc++.h>#define int long long
using namespace std;signed main() {int n;cin >> n;int ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (i % 3 == 0) {ans += (n - i);} else {ans += (n / 3 - i / 3);}}cout << ans << endl;return 0;
}

嗯，毫无意外的超时了。

题目给出的范围是 1≤n≤1091 \leq n \leq 10^91≤n≤109 ，我们O(n)O(n)O(n) 的算法当然会超时。

因此，就有了第二种解法。

第二步

我们依然以 n=10n = 10n=10 为例，

把 iii 从 111 到 nnn 分成三份。

第一份i = 3, 6, 9...

第二份i = 1, 4, 7, 10...

第三份i = 2, 5, 8...

对于第一份的数，都有i%3 == 0，会执行 ans += (n - i)的操作。有kkk个符合i%3 == 0 的数，就会执行 kkk 次。把它们加起来，就是(n - 3) + (n - 6) + (n - 9) + ... + (n - 3 * k)

根据等差数列求和公式 (a1+an)∗n/2(a_1 + a_n) * n / 2(a1+an)∗n/2 ,

可以简化为 k∗n−(3+3∗k)∗k/2k * n - (3 + 3 *k) * k / 2k∗n−(3+3∗k)∗k/2 。

同时，k=n/3k = n/3k=n/3

对于第二份的数，先假设有ppp个，会执行ppp次ans += (n/3 - i/3)的操作。同样，把它们加起来，就是(n/3 - 1/3) + (n/3 - 4/3) + (n/3 - 7/3) + (n/3 - 10/3) + ... + (n/3 - (3 * p - 2)/3)，

先简化一下，就是 (n/3 - 0) + (n/3 - 1) + (n/3 - 2) + .. + (n/3 - (p - 1))

根据等差数列求和公式，简化得

p∗n/3−(p−1)∗p/2p*n/3 - (p - 1) * p / 2p∗n/3−(p−1)∗p/2

对于第三份的数，先假设有qqq个，会执行qqq次ans += (n/3 - i/3)的操作。同样，把它们加起来，就是(n/3 - 2/3) + (n/3 - 5/3) + (n/3 - 8/3) +... + (n/3 - (3 * q - 1)/3)

先简化一下，就是(n/3 - 0) + (n/3 - 1) + (n/3 - 2) + ... + (n/3 - (q - 1))

根据等差数列求和公式，简化得

q∗n/3−(q−1)∗q/2q*n/3 - (q-1)*q/2q∗n/3−(q−1)∗q/2

最后，把上面三条简化后的式子相加求和，就得到最终的结果。

实现代码

#include<bits/stdc++.h>#define int long long
using namespace std;signed main() {int n;cin >> n;int ans = 0;int k = n / 3;ans += k * n - ((3 + 3 * k) * k) / 2;int p = k, q = k;if (n % 3 == 2) {p++;q++;} else if (n % 3 == 1) {p++;}ans += p * n - p * (p - 1) / 2;ans += q * n - q * (q - 1) / 2;cout << ans << endl;return 0;
}

所以有没有大佬可以说一下更简单的办法？

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