【编译原理总结】由正则式构造等价的DFA并将其最小化

前言

编译原理真的是天书，老师课上讲的我是完全不懂的，以下仅仅是个人通过搜集资料和做题得出来的解题方法，可能只能拿来应付做题考试，并非专业理论的东西，我将用尽可能简单易懂的办法来叙述。

方法

Step1 由正则式构造出NFA

基本规则如下

我们根据要读入的符号来画这个图，比如读入一个a，那么从前一个状态到后一个状态中间就是一个指向箭头上面写个a，特殊的，例如有 | 或 * 号的，就遵守上图的方法来画，最后就能得到NFA的图。

例如

正则表达式 (ab)*(a*|b*)(ba)* 的NFA转换过程如下：

总的来讲这一步就是按顺序读串（注意括号的先后级），直到形成最后的NFA图。

我们再拿一个正则式举例，接下来的步骤将按照这个正则式完成。

例如正则式 1(0|1) *101 可得到NFA图如下：

Step2 根据NFA图得到“状态转换表”（子集构造法）

完成了第一步的图以后，我们根据图来完成状态转换表。

首先看你的NFA图上有几种符号（不包括空字符串ε）。

例如上图中只有0和1两种符号，那么我们接下来要画的表就一共有2+1（总的状态列）=3列

其中第一列我将其成为总的状态列，第二列即第一列中的每个状态将1拿进去走，能得到的状态的集合，第三列同理，即第一列中的每个状态将0拿进去走，能得到的状态的集合。

I	I1	I0

然后我们来看NFA图，代入不同符号（要注意只要包括这个符号，前后可以有任意个ε），找到他们能走到的状态的集合。

首先我们以S开始，经过任意个ε得到的结点就是第一个I，这道题就是{S}（因为我们发现图中S只能给个1才能到A，给其他任何符号都走不下去），故我们在表格中第一行第一列填入{S}

I	I1	I0
{S}

然后将1拿进去让他去一步步走，能得到状态A（如下图），那么此时集合I1就是{A}

但是别着急，我们继续往后看，A如果读进空字符串ε还能到B，再读一个ε还能到C，而且B读一个1以后还能到B自身

那么此时集合就是{A,B,C}，我们将其填入第一行的第二列

I	I1	I0
{S}	{A,B,C}

I0同理，我们发现S代入0让他走，没办法到任何节点，故我们填入空集∅

I	I1	I0
{S}	{A,B,C}	∅

第一行至此完成。

接着我们看表格中还有没有没处理过的集合（即表格中还存在没有在第一列中的集合）

我们发现{A,B,C}还不存在于第一列中，我们将其填入

I	I1	I0
{S}	{A,B,C}	∅
{A,B,C}

然后同理，按照上述办法，我们让A,B,C状态分别读入1，

A读入1后，可以到B（读一个ε，再读一个1），可以到C（读一个ε，再读一个1，再读一个ε），可以到D（读一个ε，再读一个1，再读一个ε，再读一个1）

B读入1后，可以到B，可以到C（读一个1，再读一个ε），可以到D（读一个1，再读一个ε，再读一个1）

C读入1后，可以到D

所以可得到的集合是{B,C,D}，将其填入第二行第二列

I	I1	I0
{S}	{A,B,C}	∅
{A,B,C}	{B,C,D}

然后我们再让A,B,C状态分别读入0，

A读入0后，可以到B（读一个ε，再读一个0），可以到C（读一个ε，再读一个0，再读一个ε）

B读入0后，可以到B，可以到C（读一个0，再读一个ε）

C读入0后，到不了任何状态

所以可得到的集合是{B,C}，将其填入第二行第三列

I	I1	I0
{S}	{A,B,C}	∅
{A,B,C}	{B,C,D}	{B,C}

重复上面的工作，我们发现集合{B,C,D}和集合{B,C}在第一列中还不存在，故拿过去，再算！

I	I1	I0
{S}	{A,B,C}	∅
{A,B,C}	{B,C,D}	{B,C}
{B,C,D}
{B,C}

中间的过程都是一样的，就不再重复了，最后我们得到的表格是这样的：

I	I1	I0
{S}	{A,B,C}	∅
{A,B,C}	{B,C,D}	{B,C}
{B,C,D}	{B,C,D}	{B,C,E}
{B,C}	{B,C,D}	{B,C}
{B,C,E}	{B,C,D,Z}	{B,C}
{B,C,D,Z}	{B,C,D}	{B,C,E}

至此，我们已经完成了表格。

Step3 根据“状态转换表”得到DFA图

我们对上面的表格，第一列中不同的状态集进行状态编号，如下表中红色标识的编号，这就是我们的DFA图中所有的状态，我将末态定为Z，可以是随意的。

I	I1	I0
A {S}	{A,B,C}	∅
B {A,B,C}	{B,C,D}	{B,C}
C {B,C,D}	{B,C,D}	{B,C,E}
D {B,C}	{B,C,D}	{B,C}
E {B,C,E}	{B,C,D,Z}	{B,C}
Z {B,C,D,Z}	{B,C,D}	{B,C,E}

然后，在后面几列中的状态集按照第一列的编号，也写出来，方便后面我们画箭头。

I	I1	I0
A {S}	{A,B,C} B	∅
B {A,B,C}	{B,C,D} C	{B,C} D
C {B,C,D}	{B,C,D} C	{B,C,E} E
D {B,C}	{B,C,D} C	{B,C} D
E {B,C,E}	{B,C,D,Z} Z	{B,C} D
Z {B,C,D,Z}	{B,C,D} C	{B,C,E} E

全部标完以后，我们找出末态（终态）

很简单，就是包含NFA中末态的状态，这里A,B,C,D,E,Z六种状态中，只有Z：{B,C,D,Z}包含原NFA中的末态Z

接下来我们来画DFA图，先画出所有的状态，定好初态（我这里是A），末态用双圆圈表示

然后看表，例如第一行，我们发现状态A通过1能走到状态B，通过0走不到任何状态，所以我们画一个箭头到B，上面写上1

同理，再看第二行，一直标下去，最后的结果如下：

至此，我们的DFA图就画完了。

Step4 DFA图的最小化

几个概念：
1.多于状态：对于一个状态Si，若从开始状态出发，不可能到达改状态Si，则Si为多余（无用）状态。
2.死状态：对于一个状态Si，对于任意输入符号a，若转到它本身后，不可能从它到达终止状态，则称Si为死状态。
都称为无关状态
3.等价状态：若Si为自动机的一个状态，我们把从Si出发能导出的所有符号串的集合记为L（Si）。
设有两个状态Si和Sj，若有L（Si）=L（Sj），则称Si和Sj是等价状态。
4.可区别状态：自动机中两个状态Si和Sj，如果它们不等价，则称它们可区别。
5.两个状态(Si和Sj)等价的判断条件:
（1）状态Si和Sj必须同时为终止状态或同时为非终止状态。即终止状态和非终止状态是可区别的。
（2）状态Si和Sj对于任意输入符a∈Σ，必须转到等价的状态里，否则Si和Sj是可区别的。

首先要找出初态和末态的集合，很简单，初态为{A,B,C,D,E}，末态为{Z}

$\pi _{0}=\left ( \left \{ A,B,C,D,E \right \}, \left \{ Z \right \}\right )$

接下来分别代入符号（本例中是0和1），找出从各个集合中的各个状态从这个符号出发到的状态的集合，再比较是否是上一个π中的子集。

一个化简：观察一下DFA图，我们发现在集合{A,B,C,D,E}中，B,C,D,E代入0和1都是允许的，但A只能代入1，无法代入0，因此我们首先就可以把A单独提出来。

因此变成：

$\pi _{0}=\left ( \left \{ A \right \},\left \{ B,C,D,E \right \}, \left \{ Z \right \}\right )$

例如本题中，我们将{B,C,D,E}中各个状态先代入0得到的状态集合如下：

$\left \{ B,C,D,E \right \}_{0}=\left \{ D,E \right \}$

针对上述结果集合的说明：

B代入0得到D

C代入0得到E

D代入0得到D

E代入0得到D

故结果集合为{D,E}

我们发现

$\left \{ D,E \right \}\subseteq \pi _{0}$

针对上述式子的说明：

因为π0中包含集合{B,C,D,E}，而{D,E}是{B,C,D,E}的一个子集，故得到此结果。

接下来我们将{B,C,D,E}中各个状态先代入1得到的状态集合如下：

$\left \{ B,C,D,E \right \}_{1}=\left \{ C,Z \right \}$

我们发现

$\left \{ C,Z \right \}\nsubseteq \pi _{0}$

因此我们需要将集合{B,C,D,E}进一步拆分。

通过上面的计算方法，我们知道了：如果π中的一个集合代入各个状态，只要出现得到的结果集合不是π的子集的情况，就需要进一步拆分。

我们可以简单观察得到{B,C,D}代入0和1以后得到集合都是π0的子集，但E代入1后突然就多出个Z，因此将{B,C,D,E}分为{B,C,D}和{E}，得到

$\pi _{1}=\left ( \left \{ A \right \},\left \{ B,C,D \right \},\left \{ E \right \}, \left \{ Z \right \}\right )$

重复刚才的操作，有

$\left \{ B,C,D \right \}_{0}=\left \{ D,E \right \}\nsubseteq \pi _{1}$

因此再将{B,C,D}拆分，如何拆分的方法还是跟上面一样的：

$\pi _{2}=\left ( \left \{ A \right \},\left \{ B,D \right \},\left \{ C \right \},\left \{ E \right \}, \left \{ Z \right \}\right )$

再一次检查，这次我们发现

$\left \{ B,D \right \}_{0}=\left \{ D \right \}\subseteq \pi _{2}$

$\left \{ B,D \right \}_{1}=\left \{ C \right \}\subseteq \pi _{2}$

终于，我们得到了最小化的集合π2

这个集合告诉我们，其实B和D状态是等价的，我们可以去掉一个。

例如我们去掉D，那么此时相当于还剩下A,B,C,E,Z五个状态。（其实你也可以重新给状态命名，这里便于理解就不重命名了）

将这五个状态重新画一下DFA图，就是最小化的DFA图了！

这里注意一下，在原来的DFA图中，E走0可以到D，现在我们知道B和D是等价的，故在最小化DFA图中，E走0能到B

同理，原图中D走0可以到他自身，现在由于B和D是等价的，故在最小化DFA图中，B走0能到他自身。

至此，本题已经做完，方法也应该掌握！

完结散花。

后记

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