排序不等式、证明及其应用

1. 定义及证明

设有两个有序数组：a1≤a2⋯≤ana_1\leq a_2\cdots \leq a_n 及 b1≤b2⋯≤bnb_1\leq b_2\cdots \leq b_n，求证： ∑i=1naibi≥∑i=1naibji≥∑i=1naibn−i+1\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\geq \sum\limits_{i=1}^na_ib_{ji}\geq \sum\limits_{i=1}^na_ib_{n-i+1} （顺序和≥乱序和≥逆序和），其中 j1,j2,…,jij_1,j_2,\ldots,j_i 是自然数的任一个排列。

证明：

令 sk=∑i=1kbis_k=\sum\limits_{i=1}^kb_i（部分和），s′k=∑i=1kbjis_k'=\sum\limits_{i=1}^kb_{ji}（i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n）

显然，sk≤s′ks_k\leq s_k'，sn=s′ns_n=s_n'，又因为，ai−ai+1≤0a_i-a_{i+1}\leq 0，所以有 si(ai−ai+1)≥s′i(ai−ai+1)s_i\left(a_i-a_{i+1}\right)\geq s_i'\left(a_i-a_{i+1}\right)，

所以：

∑i=1naibi=∑i=1n−1si(ai−ai+1)+ansn≥∑i=1n−1s′i(ai−ai+1)+ans′n=∑i=1naibji

\sum\limits_{i=1}^na_ib_i=\sum\limits_{i=1}^{n-1}s_i\left(a_i-a_{i+1}\right)+a_ns_n\geq \sum\limits_{i=1}^{n-1}s_i'\left(a_i-a_{i+1}\right)+a_ns_n'=\sum\limits_{i=1}^na_ib_{ji}

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