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题目

高维网络

现在有一个\(d\)维的坐标网格，其中第\(i\)维坐标的范围是\([0,a_i]\)。
在这个范围内建立一个有向图：我们把范围内的每个整点（每一维坐标均为整数的点）当做图上的顶点。设点 \(A(0,0,⋯,0)\),\(B(a_1,a_2,⋯,a_d)\)。
对于范围内的点\((x_1,x_2,⋯,x_d)\)，它会向以下这些点（如果目标点在范围内）连有向边：\((x_1+1,x_2,⋯,x_d),(x_1,x_2+1,⋯,x_d),⋯,(x_1,x_2,⋯,x_d+1)\)
现在从点\(A\)到点\(B\)会有若干条路径，路径的条数可以十分简单地算出。然而不幸的是，范围内有 p 个点被破坏了（点\(A\)和点\(B\)不会被破坏)，其中第\(i\)个点的坐标为\((x_{i_1},x_{i_2},⋯,x_{i_d})\)。你需要算出从点\(A\)到点\(B\)剩余的路径条数。
由于答案可能很大，你只需要输出它对 1,000,000,007 取模的结果。
【输入格式】
第一行为两个整数\(d\),\(p\)。
第二行为\(d\)个整数，其中第\(i\)个数是\(a_i\)。
接下来\(p\)行，每行\(d\)个整数，其中第\(i\)行第\(j\)个数是\(x_{i_j}\)。
【输出格式】
一个整数，表示从点\(A\)到点\(B\)剩余的路径条数对 1,000,000,007 取模的结果。

解题报告

好简单的题，没什么好说的。
因为坏点的个数很少，并且维数也不大，完全可以承受\(O(p^2*d)\)的复杂度。
突破点：统计\(f[i]\)表示从\(A\)点到\(i\)点，不经过其他坏点的方案数 ，很显然的一点是，总方案数-每个点作为第一个坏点的方案数为答案。
这就很容易了，只需要一个C(x,y)的函数：

inline int C(int x,int y){long long tmp=1;int sum=0; for (int i=1;i<=d;i++){tmp=che(tmp,inv[bad[y].x[i]-bad[x].x[i]]);sum+=bad[y].x[i]-bad[x].x[i];}tmp=che(tmp,mul[sum]); return (int)tmp;
}

这是统计方案数的函数，意思大概是将所有步求全排列再除去同种步的阶乘，简单易懂
然后 \(f[i]=C(A,i)-f[j](j \to i)\).简单易懂。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int N=501;
const int D=101;
const int M=1000000007;
struct badpoint{int x[D];
} bad[N+1];
struct E{int next,to; E(int next=0,int to=0) :next(next),to(to){}
} e[N*N];
int mul[10000001],inv[10000001];
int f[N],d,n,a[N],head[N],tot;
inline int che(int x,int y){long long a=x,b=y,c=a*b%M;return (int)c;
}
inline void cha(int &x,int y){x=(x-y+M)%M;
}
inline int qpow(int x,int k){long long ans=1,tmp=x; for (int i=k;i;i>>=1){if (i&1) ans=ans*tmp%M; tmp=tmp*tmp%M;}return (int)ans;
}
void init(){mul[0] = 1;for (int i=1;i<=10000000;i++) mul[i]=che(mul[i-1],i);inv[10000000]=qpow(mul[10000000],M-2);for (int i=10000000-1;i>0;i--)inv[i]=che(inv[i+1],i+1);inv[0]=1;
}
inline void in(int &x){char ch=getchar(); for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());for (x=0;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-48;
}
inline void add(int x,int y){e[++tot]=E(head[x],y); head[x]=tot;
}
inline bool judge(int x,int y){for (int i=1;i<=d;i++) if (bad[x].x[i]>bad[y].x[i]) return 0; return 1;
}
inline int C(int x,int y){long long tmp=1;int sum=0; for (int i=1;i<=d;i++){tmp=che(tmp,inv[bad[y].x[i]-bad[x].x[i]]);sum+=bad[y].x[i]-bad[x].x[i];}tmp=che(tmp,mul[sum]); return (int)tmp;
}
inline int dp(int x){if (f[x]!=-1) return f[x]; f[x]=C(0,x); int y;for (int i=head[x];i;i=e[i].next){y=e[i].to; cha(f[x],che(dp(y),C(y,x))); }return f[x];
}
int main(){freopen("cube.in","r",stdin); freopen("cube.out","w",stdout);init();in(d),in(n);for (int i=1;i<=d;i++) in(a[i]),bad[n+1].x[i]=a[i];for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=d;j++) in(bad[i].x[j]); for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) if (i!=j&&judge(i,j))add(j,i);int y;memset(f,-1,sizeof(f));for (int i=1;i<=n;i++)dp(i); int ans=C(0,n+1);for (int i=1;i<=n;i++)cha(ans,che(f[i],C(i,n+1)));printf("%d\n",ans); return 0;
}