程序设计与算法----动态规划之最长上升子序列

问题描述

给出两个字符串，求出这样的一个最长的公共子序列的长度：子序列中的每个字符都能在两个原串中找到，而且每个字符的先后顺序和原串中的顺序一致。
样例输入

abcfbc abfcab
programming contest
abcd mnp

样例输出

4
2
0

算法思想

输入两个串s1,s2,设MaxLen(I,j)表示:
s1左边的第i个字符形成的子串，与s2左边的j个字符形成的子串的最长公共子序列的长度(i,j从0开始算)
MaxLen(i,j)就是本题的状态。
假定len1=strlen(s1),len2=strlen(s2)
那么题目就是要求MaxLen(len1,len2)
显然:
MaxLen(n,0)=0(n=0…len1)
MaxLen(0,n)=0(n=0…len2)
递推公式：
if(s1[i-1]==s2[j-1]) //s1的最左边字符时s1[0]
MaxLen(i,j)= MaxLen(i-1,j-1)+1
(s1的左边形成的i个字符和s2的左边j个字符所形成的最长公共子序列的长度等于s1左边的i-1个字符和s2左边的j-1个字符所形成的最长公共子序列的长度+1)
else
MaxLen(i,j)=Max(MaxLen(i,j-1), MaxLen(i-1,j))
(s1左边的i个字符和s2的左边j-1个字符，s1左边的i-1个字符和s2左边的j个字符所形成的公共子序列的长度的最大值)
时间复杂度O(mn)m,n是两个子串长度

s1[i-1]!=s2[j-1],maxlen(s1,s2)不会比maxlen(s1,s2j-1)和maxlen(s1i-1,s2)两者汇总的任何一个小，也不会比两者都大。
前者，显然成立。
对于后者，反证法，假设maxlen(s1,s2)比maxlen(s1,s2j-1)大，它们的差别在于前者比后者多了一个字符，多出来的字符时s2[j-1],说明s2[j-1]要起作用，说明它是属于他们的最长公共子序列，maxlen(s1,s2)比maxlen(s1i-1,s2)大，同理，s1[i-1]起作用，它必然是s1和s2所形成的最长公共子序列的字符，所以s1[i-1]和s2[j-1]均是s1和s2最长公共子序列的最后一个字符。与前提矛盾，说明前面的假设不成立，
则s1[i-1]!=s2[j-1],maxlen(s1,s2)不会比maxlen(s1,s2j-1)和maxlen(s1i-1,s2)两者汇总的任何一个小，也不会比两者都大。

程序代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXSIZE 100
char a[MAXSIZE];
char b[MAXSIZE];
int maxLen[MAXSIZE][MAXSIZE];
int commonStr(char a [ ],char b [ ]){//计算两个字符串的长度 int len_a=strlen(a);int len_b=strlen(b);int i,j;//设置边界条件for(i=0;i<=len_b;i++){maxLen[len_a][0]=0;}for(i=0;i<=len_a;i++){maxLen[0][len_b]=0;}for(i=0;i<len_a;i++){for(j=0;j<len_b;j++){//当a[i]等于b[j] //s1的左边形成的i个字符和s2的左边j个字符所形成的最长公共子序列的长度等于//s1左边的i-1个字符和s2左边的j-1个字符所形成的最长公共子序列的长度+1 if(a[i]==b[j]){maxLen[i+1][j+1]=maxLen[i][j]+1;}else{//当a[i]不等于b[j]时 //s1左边的i个字符和s2的左边j-1个字符，s1左边的i-1个字符和s2左边的j个字符所形成的公共子序列的长度的最大值maxLen[i+1][j+1]=max(maxLen[i][j+1],maxLen[i+1][j]);}}} return maxLen[len_a][len_b];
}
int main(){int *res=new int[MAXSIZE];int num=0;while(cin>>a>>b){res[num++]=commonStr(a,b);}for(int i=0;i<num;i++){cout<<res[i]<<endl;}return 0;
}