程序设计与算法----动态规划之最长公共子序列

问题描述

一个数的序列ai,当a1<a2<…<as的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1,a2,….an)我们可以得到一个上升的子序列(ai1,ai2,…,aik),这里1<=i1<i2<…ik<=N。比如，对于序列(1,7,3,5,9,4,8),有它的一些上升子序列，如(1,7),(3,4,8)等等，这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1,3,5,8)
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。
输入数据
输入的第一行是序列的长度N(1<=N<=1000)，第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000
输出要求
最长上升子序列的长度
输入样例

7
1 7 3 5 9 4 8

输出样例

4

算法思想

1.求子问题
求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度是个子问题，但是这样分解子问题，不具有无后效性
假设F(n)=x,但可能有多个序列满足F(n)=x。有的序列最后一个元素比an+1小，则加上n+1就能形成更长的上升子序列，有的序列最后一个元素不比an+1小…以后的事情受如何达到状态n的思想，不符合无后效性
求以ak(k=1,2,3,…N)为终点的最长上升子序列的长度
一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的重点
虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这个N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。
2.确定状态
子问题只和一个变量—数字的位置相关，因此序列中位置k就是状态，而状态k对应的值，就是以ak作为终点的最长上升子序列的长度
状态一共有n个
3.找出状态转移方程
maxLen(k)表示以ak作为终点的最长上升子序列的长度，那么
初始状态maxLen(1)=1
maxLen(k)=max{maxLen(i):1<=i<k且ai<ak且k≠1}+1,若找不到这样的i，则maxLen(k)=1
maxLen(k)的值，就是在ak左边，终点数值小于ak，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1.因为ak左边任何终点小于ak的子序列，加上ak之后就能形成一个更长的上升子序列。

程序代码

#include<iostream>
#define MAXSIZE 1000
using namespace std;
//时间复杂度为O(n2)
int ascendList(int a[],int n){//maxLen[k]表示以ak为终点的最长上升子序列的长度 int maxLen[MAXSIZE];           //这里为了方便，就所有元素的最长上升子序列初始化为1 for(int i=0;i<n;i++){maxLen[i]=1;} //从每个元素开始遍历，计算其最长上升子序列的长度for(int i=1;i<n;i++){for(int j=i;j>=0;j--){//maxLen[k]的值等于在ak左边，终点值小于ak，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1 if(a[i]>a[j]&&maxLen[i]<=maxLen[j]){maxLen[i]=maxLen[j]+1;}} }//找出整个数组中最长的那个上升子序列 int maxL=maxLen[0];for(int i=0;i<n;i++){if(maxLen[i]>maxL){maxL=maxLen[i];}}return maxL;    }
int main(){int a[MAXSIZE];int n;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){cin>>a[i];}cout<<ascendList(a,n);return 0;
}