出道经年，读过的论文少说也有上千篇了。好论文读完之后会一边点头一边默念“因吹斯停”，但是被某篇论文爆脑的次数应该是个位数。然而最近，被半篇论文爆脑两次，这种酸爽不知道你们能不能理解。论文的第一作者是他，江湖人称——大黄。

长得很欠揍有木有？其实不只是长得欠揍，他确实很欠揍。想当年为了跟他学有限元，不知道被敲了多少报告。奈何他才华横溢，让人又爱又恨。

为何轻松爆脑？因为他直戳结构动力学基本理论中一个被我长期轻视的痛点——阻尼模型。有阻尼单自由度体系自由振动的运动方程大家一定很熟悉吧？不知道的同学可以直接滑到文末点右下角的“好看”了。

等号左边第二项是与体系的速度相关的阻尼力；(2hωn)再乘以体系质量m称为阻尼系数c，而h称为阻尼比。

这个非常简洁的阻尼模型就是所谓的粘性阻尼(viscous damping)。根据这个模型，阻尼力作功(阻尼耗能)的大小，是跟体系的振动频率ω相关的(下式)，所以这样的阻尼模型是率相关的(rate-dependent)。

式中ED是阻尼耗能，ES0是弹性应变能，ω是体系稳态振动的频率。阻尼耗能ED随ω线性变化，如下所示。

然而，大量试验表明，固体材料的阻尼耗能跟频率并没有什么关系！那么，率相关的粘性阻尼模型为何仍然如此深入人心呢？大神乔布拉是这样说的：

Rate-independent damping is easily described if the excitation is harmonic and we are interested only in the steady-state response of this system. Difficulties arise in translating this damping mechanism back to the time domain. Thus it is most useful in the frequency-domain method of analysis (Chopra, 2007, Dynamics of ... 3rd ed., pp106).

原因总是惊人的简单——因为率不相关的阻尼模型在时域里很难搞(就是搞不出来的委婉说法)。连乔神都说搞不出来啦，老师上课讲的就是粘性阻尼啦，大家都在用粘性阻尼啦，于是，权宜的简化变成了确凿的真理。这也为爆脑埋下了千里伏笔。

爆

点

1

刚度与频率相关

大黄提出的阻尼模型(以下简称FR模型)直接回应了乔神所说的“difficulties”，实现了在给定的频率范围(Frequency Range)内率不相关的(rate-independent)阻尼耗能，如下图中的蓝线所示。

与之相伴的是，体系刚度与振动频率相关，如下图所示。

据说对于土、岩石、混凝土、钢材、砌体、橡胶等常用建筑材料，这事儿都是有试！验！依！据！的！可能是怕像我这样太傻太天真的读者不相信，大黄特意甩了一大脸的参考文献：

• Leroueil S, Marques MES. Importance of strain rate and temperature effects in geotechnical engineering. Measuring and modeling time-dependent soil behavior, vol. 61. ASCE Geotechnical Special Publication; 1994. 1–60.

• Stokoe KHI, Darendeli MB, Andrus RD, Brown LT. Dynamic soil properties: laboratory, field and correlation studies. In: Proceedings of the second international conference on earthquake geotechnical engineering, Lisboa, Portugal; 1999. 811–845.

• Meng J. Earthquake ground motion simulation with frequency-dependent soil properties. Soil Dyn Earthq Eng 2007; 27: 234–241.

• Ciccotti M, Almagro R, Mulargia F. Static and dynamic moduli of the seismogenic layer in Italy. Rock Mech Rock Eng 2004;37(3): 229–238.

• Nöll GG. Die Frequenzabhängigkeit der komplexen Elastizitätskonstanten einiger Baustoffe zwischen etwa 5 und 100 kHz. Acustica 1971;24: 93–100.

• Payne AR, Scott JR. Engineering design with rubber. London: Maclaren; 1960.

• Wada Y, Ito R, Ochiai H. Comparison between mechanical relaxation associated with volume and shear deformations in styrene-butadiene rubber. J Phys Soc Jpn 1962; 17: 213–218.

• Warnaka GE. Dynamic strain effects in elastomers. Rubber Chem Technol 1963; 36(2): 407–421.

• Koppelmann VJ. Über die Bestimmung des dynamischen Elastizitätsmoduls und des dynamischen Schubmoduls im Frequenzbereich von 10e-5 bis 10e-1Hz. Rheol Acta 1958; 1: 20–28.

• Pritz T. Frequency dependences of complex moduli and complex Poisson’s ratio of real solid materials. J Sound Vib 1998; 214(1): 83–104.

这还是我认识的钢和混凝土吗？！别急，事儿还没完 。

爆

点

2

反应谱还是那个反应谱吗？

地震反应谱是单自由度体系在地震作用下的最大反应与自振周期的关系曲线。它实在太常用了，搞抗震工程研究的人如果不熟悉反应谱，出门都不好意思跟别人打招呼。

不论SeismoSignal也好，ViewWave也好，或者自己编个小程序算反应谱也好，算的都是具有粘性阻尼的单自由度体系的最大反应，对吧？

如果不用粘性阻尼，而是用率不相关的FR模型，会怎么样呢？

用人民群众喜闻乐见的1940 El Centro NS记录测试一下吧。它的地面加速度时程大家一定很熟悉了。

http://www+vibrationdata+com/elcentro+htm

它的加速度和位移反应谱(h=0.05)是这样的。图中红实线是用传统方法基于粘性阻尼模型得到的反应谱，蓝虚线是采用FR模型得到的反应谱。

居然是不！一！样！的！明明是单自由度体系，为什么阻尼模型的率相关特性为什么会有影响呢？

即使是单自由度体系，其振动也是由瞬态解(自由振动)和稳态解(受迫振动)组成的，虽然前者是以体系的自振频率在振动，但后者却是以外荷载的激振频率在振动。而地震地面运动是一个宽频输入，在很大一个频率范围内都会激振。因此即使是单自由度体系，其振动也可能包含众多频率成分(对单自由度体的地震反应做个FFT就清楚了)。

回头再看阻尼耗能的率相关性，即使对于单自由度体系，也不是仅在ω=ωn那一点处的阻尼力在起作用，而是在一个频率范围内的阻尼力都在起作用。所以采用粘性阻尼模型和FR模型得到的地震反应谱是不同的。

其实上面两个爆点只是对于我这种不明真相的群众而言的。乔神在结构动力学宝典里专辟一节讨论了rate-independent阻尼，也比较了采用不同阻尼模型的单自由度体在简谐激励下的传递函数。上面对地震反应谱的比较只不过把简谐激励扩展到更一般的情况而已。

所以，如果只是线弹性单自由度体系，就没什么意思了。FR模型的真正价值其实在于，它适用于多自由度体系的非线性反应，并且轻松兼容各种本构模型。

在多自由度体系的非线性地震反应分析中常用的有

• 刚度比例型阻尼(stiffness-proportional damping)

• 瑞利阻尼(Rayleigh damping)

二者的阻尼比-频率相关关系分别如下图中的红线和黑线所示。

刚度比例型阻尼只在一个频率点上实现了预期的阻尼比(如图中的ω1)，瑞利阻尼在两个频率点上实现了预期的阻尼比(如图中的ω1和ω3)，而FR模型则可以在一个很宽的频率范围[ωa, ωb]内的各个频率点上均近似地实现预期的阻尼比(注意FR模型实际上不存在粘性阻尼意义上的阻尼比，此处使用等效阻尼比h*=ED/Es0以便于比较)。

意不意外？惊不惊喜？

除了更符合实际之外，率不相关的FR模型的一个直接好处是阻尼可以不再是整体结构(或者它的模态)的属性，而是一个个构件的属性。体系中不同部分的阻尼特性迥异？so easy! 简直是搞土-结相互作用的福音。

除此之外，最为常用的瑞利阻尼在预设的频率以外的阻尼是被放大的，即倾向于低估结构反应。特别是在低频段，阻尼比飞速增大。在以下情况下，这可能引入过大的阻尼从而低估结构反应：

• 结构进入非线性(结构周期延长，相应地，自振频率降低)；

• 刚体运动(零频，隔震建筑中的上部结构的运动经常比较接近刚体运动)

相比之下，FR模型在[ωa, ωb]以外的阻尼是逐渐衰减至零的。特别是在低频段，和刚度比例型阻尼一样，FR模型的等效阻尼比趋近于零，完美！

这么好的阻尼模型，大家可能要问了，在哪儿可以买到呢？前面说过大黄向来是恃才敲报告的，打个飞的去旧金山请他吃饭应该可以搞定。另一个方法是使用LS-DYNA，

致   谢

在以上测试中，Yuli Huang@Arup提供了FR模型的程序和技术指导，王飞剑@山西省地震局完成了在OpenSees和Matlab中的建模和计算工作。特此感谢！

王飞剑@山西省地震局