引言

大家都知道，可以在计算机处理器直接运行的是由0,1构成的机器代码(machine code)，本文将介绍浮点数(floating-point number )在机器码中是如何被编码表示的。
整数(integer)是如何被编码的呢？小伙伴们应该听过补码，原码，反码吧，这些正是整数被编码的不同规则。

原码：一定字长，在不溢出的情况下，最高位是符号位，跟上该整数二进制表示。符号位中0代表正数，1代表负数。

补码（two's compliment）：最高位也是符号位，但是与原码不同的是符号位也参与到求值里。
例如：1001=-2^3+1=-7
而原码中 1001=-1

代表同一数值的原码是可以转换成其补码的。

 很多文章里说补码是无法直接转换成十进制数值，要先换成原码再求，其实这是错误的。理解补码最高位也是参与值的即可。

后续笔者将会撰写一篇文章详细讲解原码，补码，以及反码。

下面开始正题吧！

浮点数(floating-point number)是什么

其实计算机表示小数有两种方式：

定点数 (fixed-point)
浮点数(floating-point)
区别在于，定点数编码小数时小数点位置是确定的，浮点数小数点位置是可以变化的。
如何用科学计数法来表示二进制小数，即形如：
V=(−1)s×M×2EV=(-1)^s \times M \times 2^E V=(−1)s×M×2E
0.25(d)可以写作
0.01(b)×200.01(b)\times2^00.01(b)×20
也可以写作
1.0(b)×2−21.0(b)\times 2^{-2} 1.0(b)×2−2

注：括号中的字母
d表示十进制 decimal
b表示二进制 binary
h表示十六进制 hexadecimal

IEEE floating-point representation

正如上文所述，IEEE是编码小数的一种标准。类比一下十进制的科学计数法，实际上也算一种标准，要写成形如
a×10b（其中∣a∣>=1且<10）a\times10^b （其中|a|>=1且<10） a×10b（其中∣a∣>=1且<10）
而二进制和十进制的区别只是基数不同，二进制也可以写成像科学计数法的形式。
而计算机正是用了这种方式。

IEEE表示数V，而V可以写成如下形式：
V=(−1)s×M×2EV=(-1)^s \times M \times 2^E V=(−1)s×M×2E
已知数字特点，那么计算机只需要存取s，M，E即可。

s: sign ***占最高的一位***，可以看出是**符号位**，s=1表示负数(或0)，s=0表示正数(或0)

M: significand **尾数**，二进制小数

E: exponent 对该数加权（可能是负数）

计算机常见字长有 32bit 64bit，因此IEEE规定了对应的两种不同位数的编码方式：
32位称为单精度
64位称为双精度

这些数就是想把 s，M，E 存起来。
最简单的方法就是直接全部转换成对应的二进制数，放到对应的位置上，显然IEEE不是这样。

如图，图中s编码s，exp编码E，frac编码M。这里的编码规则其实就是IEEE浮点数表示的核心了。

三种情况

设exp位有k位，frac有n位

Case 1(normalized values): exp位不全为0 且不全为1

规定：
E=exp-Bias
Bias翻译为偏置量且规定
Bias=2k−1−1Bias=2^{k-1}-1 Bias=2k−1−1
稍后分析Bias这样规定的原因。

根据位数和exp位的限定，我们可以推测出case1可表示的值范围。

由此图得知，E的范围比较对称，有一定负数，让浮点数中较小的值也可以编码。

M=1+ frac
由此可见，case1 无法表示0，因为M永远大于等于1。

Case 2 (denormalized values):
exp位全部0
规定:
E=1-Bias（Bias=2^(k-1)-1）
M=frac

作用：

表示0 （+0与-0）。
表示一些非常接近于0的小数。

Case 3(special values):
exp位全部为1

当frac位不全为0时：
表示NaN（not a number）比如根号下-1

当frac位全为0时：
如：k=3，n=2时
111100 011100 分别表示-∞与+∞

case	正负	E	M
case 1: exp位不全为0或1	s=0为正，s=1为负	E=exp-Bias	M=1+frac
case 2:exp位全部是0	s=0为正，s=1为负	E=1-Bias	M=frac
case 3:exp位全部是1	frac=0,s=0表示正无穷，s=1为负无穷；frac!=0,均表示NaN	NA	NA

特点

可以看出一定位数能表示的二进制浮点数是有限的。

当k=2，n=2时，让我们列出该情况下可以编码的所有数。
易知，bias=2^1-1=1

为了直观，V都化成了以4为分母的分数。

no.	bit	e	E	f	M	V
1	0 00 00	0	0	0	0	0
2	0 00 01	0	0	1/4	1/4	1/4
3	0 00 10	0	0	1/2	1/2	2/4
4	0 00 11	0	0	3/4	3/4	3/4
5	0 01 00	1	0	0	1.0	4/4
6	0 01 01	1	0	1/4	4/5	5/4
7	0 01 10	1	0	1/2	3/2	6/4
8	0 01 11	1	0	3/4	7/4	7/4
9	0 10 00	2	1	0	1	8/4
10	0 10 01	2	1	1/4	5/4	10/4
11	0 10 10	2	1	1/2	3/2	12/4
12	0 10 11	2	1	3/4	7/4	14/4
13	0 11 00	-	-	-	-	+∞
14	0 11 01	-	-	-	-	NaN
16	0 11 10	-	-	-	-	NaN
17	0 11 11	-	-	-	-	NaN

其中
大家也可以自己列一下这个表，加深理解。

同时我们发现了从case 1到case 2的变化是非常均匀的，V的变化量为1/16，这正是case2中规定E=1-bias 的用意！！！
但是注意：后面V值变化并不均匀！！！

我们来讲两个例子。

0 00 10
可以其判断属于case 2（exp位都是0）
exp: 00(binary)=0(decimal)
E=1-bias=1-3=-2
frac: 0.10(b)=1/4(d)
M=f= 1/4(d)
V=2^(0)✖️1/4✖️2 ^(-2)=1/16
0 10 11
可以其判断属于case 1（exp位不都是1或者0）
exp: 10(b)=2(d)
E=exp-bias=2-3=-1
frac: 0.11(binary)=3/4(decimal)
M=1+f=7/4(d)
V=2^(0)✖️7/4✖️2 ^(-1)=14/16

V与IEEE表示的相互转换

IEEE位格式(bit representation)到V

上文在讲例子时，已经介绍了从位格式求V值。
步骤：

根据exp位判断属于哪个case
写出s，exp，frac 根据不同规则求出E，M
代入公式

V=(−1)s×M×2EV=(-1)^s \times M \times 2^E V=(−1)s×M×2E

V转换成IEEE位格式

步骤：

明确单精度还是双精度。顺势求出bias值
单精度： s 1位， exp 8位， frac 13位，bias=127
双精度： s 1位， exp 11位，frac 52位，bias=1023
判断是case 1 还是case 2（case3 的情况只有+∞和NaN）
Bit representation很好看出 exp。
这种情况也不难，判断一个范围即可，求出case 1能表示的最大值（正数为例）。

单精度：
1 00000000 1111111111111
exp=0
E=1-bias-1-127=-126
frac=0.1111111111111(b)=0.9998779296875
M=0.9998779296875
V=2^(-126)✖️0.999877929687
约等于
1.17535×10−381.17535\times 10^{-38} 1.17535×10−38
若V比此值小，则是case 1。否则是case 2。

双精度
该值约等于
2.22507×10−3082.22507\times 10^{-308} 2.22507×10−308

将V值转换成二进制(只考虑能确切转换成二进制的情况)，并化成标准型
形如
V=(−1)s×M×2EV=(-1)^s \times M \times 2^E V=(−1)s×M×2E
注意：
case 1，用E来加权，调整M到位数1.xxxxxxx
case 2，用E来加权，调整M到位数0.xxxxxxx

举例：
单精度下，V=12345.0(d)
解：显然属于case 1
12345.0(d)=11000000111001
化标准型
V=20×1.1000000111001×213V=2^{0}\times1.1000000111001\times 2^{13} V=20×1.1000000111001×213
则 s=0
frac=10000001110010000000000 【13位，少了还得在后面补0，凑成23位】
E=13
exp=E+bias=13+127=140=10001100(b)【恰好8位，少了在前面补0】
则位表达为
010001100100000011100100000000000 1000110010000001110010000000000 01000110010000001110010000000000

舍入问题 (Rounding)

“Floating-point arithmetic can only approximate real arithmetic, since the representation has limited range and precision. Thus, for a value x, we generally want a systematic method of finding the ‘closest’ value.”

“The IEEE floating-point format defines four different rounding modes. The default method finds a closest match, while the other three can be used for computing upper and lower bounds”

其中说的默认方法是round-to-even，它和传统的四舍五入的唯一区别就是对中值的处理。
四舍五入，顾名思义，五永远是要进位的。
而round-to-even，五的话要round到最近的偶数值。

比如：1.5 四舍五入后 2
1.5 round-to-even 2
2.5 四舍五入后 3
2.5 round-to- even 2

优势：
在统计时，若采用四舍五入，那么数据值总是偏大一些，而round-to-even方法在中值处舍和入的概率都是0.5，数据值较为准确。

mode	1.4	1.6	1.5	2.5	-1.5
四舍五入	1	2	2	3	-2
round-to-even	1	2	2	2	-2
round-toward-zero	1	1	1	2	-1
round-down	1	1	1	2	-2
round-up	2	2	2	3	-1

round-toward-zero 模式就是在向0舍入。
round- down就是向数轴负方向舍。
round-up就是向数轴正方向入。

补充：

round-to- even在保留一定位小数时也可以用到。
比如：1.2350和1.2450保留2位小数。用round-to-even mode后都是1.24
二进制也可以用round-to-even
0为even(偶数)，1为odd(奇数)
比如：保留2位小数。
10.00011 (b)应该为 10.00(b) 而 10.00110(b)应该为10.01(b)。这两个数都不是中值。
举两个中值(请体会这里中值的含义，是对于保留2位小数而言的)的例子吧！
10.001(b)应该舍为 10.00(b)
10.111(b)应该进入为11.00(b)
注意：都是让小数舍入后最低位为even，即0

二进制小数舍入(Round-to-even)例题：

保留一位小数

before	与中值的关系	after
10.011	大于中值，要入	10.1
10.010	等于中值，要round-to-even(0)	10.0
10.110	等于中值，要round-to-even(0)	11.0
11.001	小于中值，要舍	11.0

关于中值：
10.0xx保留一位小数，其中值为10.010，准确的说，10.010是10.0(舍后的值)与10.1(入后的值)的中值。
类比1.5是1(舍后的值)和2(入后的值)的中值。

参考资料：Computer Systems: A Programmer’s Perspective 3rd edition

亲爱的读者们，欢迎指正错误和提问。

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