动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

1 变分法的基本概念

1.1 泛函 1.2 泛函的极值

1.3 泛函的变分 1.4 极值与变分

1.5. 变分法的基本引理

2 无约束条件的泛函极值

2.1 端点固定的情况 2.2 最简泛函的几种特殊情形

例 1 (最速降线问题) 例 2 最小旋转面问题、悬链线方程

2.3 最简泛函的推广

（ⅰ）含多个函数的泛函（ii）含高阶导数的泛函

（iii）含多元函数的泛函、奥式方程

2.4 端点变动的情况（横截条件）

3 有约束条件的泛函极值 4 最大（小）值原理

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。

变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。

1 变分法的基本概念

1.1 泛函

1.2 泛函的极值

1.3 泛函的变分

1.4 极值与变分

利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

1.5. 变分法的基本引理

2 无约束条件的泛函极值

2.1 端点固定的情况

2.2 最简泛函的几种特殊情形

例 1 (最速降线问题)

最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

例 2 最小旋转面问题、悬链线方程

2.3 最简泛函的推广

最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函

（ii）含高阶导数的泛函

（iii）含多元函数的泛函、奥式方程

2.4 端点变动的情况（横截条件）

横截条件有两种常见的特殊情况：

注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值

在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

4 最大（小）值原理

【下一节】变分法模型的运用：产设备的最大经济效益

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