霍纳法则(Horner Rule)--计算多项式的值

假设有n+1个实数 a₀，a₁，…，a_n ,和x的序列，要对多项式P_n(x)= a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ 求值，直接方法是对每一项分别求值，并把每一项求的值累加起来，这种方法十分低效，时间复杂度O(n^k)。
有没有更高效的算法呢?答案是肯定的。通过如下变换我们可以得到一种快得多的算法，即
P_n(x)= a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=((…(((a_nx +a_n-1)x+a_n-2)x+ a_n-3)…)x+a₁)x+a₀
这种求值的方法我们称为霍纳法则
比如
P_n(x) = 2x⁴ -x³ - 3x² + x - 5
P_n(x) = x(2x³ -x² - 3x+ 1) - 5
P_n(x) = x(x(2x² -x - 3)+ 1) - 5
P_n(x) = x(x(x(2x -1) - 3)+ 1) - 5
这样时间复杂度就变成O(n)了。

    function horner(a,x) {let length = a.length;//获取最高阶的系数let temp  = a[0];for (let i = 1; i < length; i++) {temp = x * temp + a[i];}return temp}function stupid(a,x){let length = a.length;let temp = 0;for (let i = 0; i < length; i++) {temp += a[i] * Math.pow(x,length-1-i);}return temp}let a = [1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2];let x = 3;let start =  Date.now();for (let i = 0; i <1000000; i++) {horner(a,x);}console.log("horner time = ",(Date.now() - start));start =  Date.now();for (let i = 0; i <1000000; i++) {stupid(a,x);}console.log("stupid time = ",(Date.now() - start));

两个计算结果有着巨大的差异

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