题目描述

7.a.应用从左到右二进制幂算法来计算 a 17 a^{17} a17

本题目来源：《算法设计与分析基础》(美)莱维汀Leviti,A.)著;潘彦译.一3版.北京:清华大学出版社，2015 (2020. 12重印) 一书中第五章(分治法)课后习题6.5的第三题的a小问，对应原书P186（读者可自行对照）

注：本章节（第六章）主要讲述的是变治法，并对霍纳法则的特性以及复杂度进行了一定的分析，从左到右的二进制幂算法是基于霍纳法则算法而演变出来的，下面对霍纳法则进行讨论。

一、二进制幂的计算

当使用霍纳法则来计算 a n a^{n} an时，霍纳法则（又称秦九韶算法）的高效率的优点就被抹掉了，在对 a n a^{n} an的计算时，无论如何提出公因子来进行计算，都无法避免退化成对a进行蛮力自乘的算法，因此，我们引入了二进制幂计算的算法。

不太懂霍纳法则的同志可戳这里百度百科：霍纳法则

这里以从左至右计算 a 13 a^{13} a13为例(对应原书P185页例2)，这里 n = 13 = 110 1 2 n\,\,=\,\,13 =\,\,1101_2 n=13=11012
（将十进制转化为二进制），因此，我们有

n的二进制位	1	1	0	1
累乘器	a a a	a 2 × a = a 3 a^{2}\times a = a^{3} a2×a=a3	( a 3 ) 2 \left( a^3 \right) ^2 (a3)2	( a 6 ) × a \left( a^6 \right) \times a (a6)×a

观察上述的算法，我们可以得到规律如下，用product表示累成器暂时的计算结果
p r o d u c t i = { p r o d u c t i = ( p r o d u c t i − 1 ) 2 × a , n 的第 i 位二进制为 1 p r o d u c t i = ( p r o d u c t i − 1 ) 2 , n 的第 i 位二进制为 0 (1) product_i\,\,=\,\,\begin{cases} product_i\,\,=\,\,\left( product_{i-1} \right) ^2\times a\,\,, n\text{的第}i\text{位二进制为}1\\ product_i\,\,=\,\,\left( product_{i-1} \right) ^2\,\,, n\text{的第}i\text{位二进制为}0\\ \end{cases}\tag{1} producti={producti=(producti−1)2×a,n的第i位二进制为1producti=(producti−1)2,n的第i位二进制为0(1)

这样子0101的间隔乘法其实最后会导致幂次的奇数和偶数的差异， 具体推导过程见原书第六章

即对应代码中的部分如下

for (int j = I-1; j >= 0; j--){//由于前面while存储循环的时候是从左->右对应低位->高位//故这里的代码是从后往前计算if (*(p + j) == 1)product = product * product * a;else product = product * product;}

二、题解

1.源代码

注：本代码实现过程仅仅使用int来对结果进行存储，对于一些较大幂次的计算可能不适用，读者可以自行定义能储存更多结果的数据结构或者使用高精度乘法，或者大数乘法来进行计算。

/*
Author: FeverTwice
Date:   2021 - 04 - 22
Function:   计算a的17次方PS:Homework of Algorithm lesson, Chapter 6
*/#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;int dec2bin(int b)
{//十进制转二进制int res = 0,j=1;while (b>0){res = res + j * (b % 2);b /= 2;j *= 10;}return res;
}int leftBrinaryExp(int a, int b) {int I = floor(log(b) / log(2));//计算b转化为二进制之后的位数，向下取整int *p = new int[I+1]; //定义动态数据组int b2 = dec2bin(b);  //十进制转化为二进制int i = 0;while (b2>0){//将二进制数逐位分离*(p + i) = b2 % 10;b2 /= 10;i++;}int product = a;    //二进制的最高位一定为1，初始化productfor (int j = I-1; j >= 0; j--){//由于前面while存储循环的时候是从左->右对应低位->高位//故这里的代码是从后往前计算if (*(p + j) == 1)product = product * product * a;else product = product * product;}return product;
}int main()
{cout << "请输入底数a与次数b" << endl;int a, b;//a为底数，b为次数cin >> a >> b;if (b == 0)cout << 1 << endl;else {int res = leftBrinaryExp(a, b);cout << res << endl;  //输出结果}return 0;
}

2.源程序测试

注：本题源程序测试环境Visual Studio 2019

1.Test set 1

2.Test set 2

3.Test set 3

4.Test set 4

写在最后

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