组合数学之二 —— 容斥原理及应用

这会是一个大型连载blog
内容主要来自《组合数学》+博主的思考

容斥原理

之前在“组合数学一”中提到过容斥原理
我们在这里直接给出推论：

设Ai表示在集合S中拥有特征Pi的元素子集，则集合S中至少具有性质P1,P2,P3,…,Pm之一的对象个数由下式表示：

在这一节中，有一个经典问题：

∞ 例一

确定多重集合 T={3a,4b,5*c} 的10组合的数目

这道题我们要充分利用容斥原理：
设 T*={ ∞a，∞b，∞c }
P1=T的10组合中a出现多于3次
P2=T的10组合中b出现多于4次
P3=T的10组合中c出现多于5次
Ai表示拥有Pi性质的10组合的数目，S是T*的10组合数

我们看一下每种集合的求法：
首先S的求法很简单（十个位置，三种元素），经典的隔板法：

我们重点是在Ai的求法，我们以A1为例（其余的都是同理）：
A1表示 “T*的10组合中a出现多于3次” 的组合数，那我们就可以确定这10个数中一定至少有4个a
所以原问题就变成了：有6个位置，3种元素，每个元素不限制出现次数，由此形成的组合数

那么剩下的所有集合大小都可以如上求出：

注：这个问题也可以用生成函数解决，本文中就不再冗述了

∞ 例二

满足：1<=X1<=5，-2<=X2<=4，0<=X3<=5，3<=X4<=9
的方程（X1+X2+X3+X4=18）的正整数解有多少？

我们引入一些新变量：
Y1=X1-1，Y2=X2+2，Y3=X3，Y4=X4-3

Y1+Y2+Y3+Y4=16 ①

则，关于Xi的方程有解当且仅当：
0<=Y1<=4，0<=Y2<=6，0<=Y3<=5，0<=Y4<=6
设S是①所有的非负整数解
P1是Y1>=5的性质，P2是Y2>=7的性质，P3是Y3>=6的性质，P4是Y4>=7的性质
Ai是具备Pi性质的方程解

错位排序

我们先来一个情境引入：
话说七仙女又到凡间泡澡了。。。
突然，天降大雨（估计是王母娘娘不高兴了）七仙女都急忙上岸，随便抓起一套衣服就穿上了
那么七个人全部穿错衣服有多少种情况呢？

（mdzz的例子。。。）
这个就是错位排列
我们直接给出式子：

现在我们提出一个结论：

实际上，Dn是最接近n!*e^-1的整数

考虑随机选出{ 1，2，…，n }的一个排列的实验，时间E是没有整数在其自然位置上排列，即选出的这个排列是一个错位排序，因此 |E|=Dn ，且E的概率为：

这样在本节一开始的“七仙女的故事中”，概率就为D7/7!
从效果上看，概率就是e^-1
即使是有一万个仙女，最后的答案也是e^-1

下面我们就讨论一些Dn满足的其他便于其求值的关系

结论一

其中n>=3
初始值：D1=0，D2=1

结论二

其中n>=2

以上两个小结论类似于阶乘的公式

我们还是看一下例题：

∞ 例三

再一次聚会上，有n位男士和n位女士在跳舞前存放了ta们的帽子，在聚会结束的时候随机返还给ta们这些帽子
如果每位男士得到的都是一顶男帽，女士得到的都是一顶女帽，但又都不是他们的，有多少方法呢？

如果没有限制，那么方法数就是(2n)!
如果加上男士得到男帽，女士得到女帽，那么就有（n! * n!）种方法
如果再加上没有人得到ta们自己的帽子，则有 (Dn*Dn)种 方法