无重排列和组合

无重排列个数用P(n,r)表示
P(n,r)=n(n−1)⋅⋅⋅(n−r+1)P(n,r)=n(n-1)···(n-r+1) P(n,r)=n(n−1)⋅⋅⋅(n−r+1)
无重组合个数用C(n,r)表示
C(n,r)=P(n,r)r!=n!r!(n−r)!C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!} C(n,r)=r!P(n,r)=r!(n−r)!n!
若球不同，盒子相同，则是从n个中取r个的组合的模型。若放入盒子后再将盒子标号区别，则又回到排列模型。每一个组合可有r!个标号方案。

下面排列组合性质直接用公式证明固然可以，不过理解他的集合意义以及直观证明更有助于理解组合数学
1.若n,r是整数，且n≧r≧2,则P(n,r)=n×P(n−1,r−1).1.若n,r是整数，且n≧r≧2, 则 P(n,r)=n×P(n-1,r-1). 1.若n,r是整数，且n≧r≧2,则P(n,r)=n×P(n−1,r−1).
n个数选r个来排列，相当于每个数都没选中一次，然后剩下的n-1个数中选r-1个数，然后再用加法原理把他们加起来，这个公式有点递归的味道。
2.若n,r是整数，且n≧r≧2,则P(n,r)=r×P(n−1,r−1)+P(n−1,r).2.若n,r是整数，且n≧r≧2, 则 P(n,r)=r×P(n-1,r-1)+P(n-1,r). 2.若n,r是整数，且n≧r≧2,则P(n,r)=r×P(n−1,r−1)+P(n−1,r).
任意选择r个数，选r个数排列的时候如果选到了这其中的r个数那么数量则是P(n-1,r-1)，如果没选到则是P(n-1,r
3.C(n,r)=C(n−1,r)+C(n−1,r−1)3.C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) 3.C(n,r)=C(n−1,r)+C(n−1,r−1)
这个的理解和第二个类似
4.C(n,n)+C(n,n−1)+……+C(n,1)+C(n,0)=2n4.C(n,n)+C(n,n-1)+……+C(n,1)+C(n,0)=2^n 4.C(n,n)+C(n,n−1)+……+C(n,1)+C(n,0)=2n
等式左边可以理解为n个元素的子集数量，在生成子集的时候我们可以这样理解，对每一个元素x1到xn他都有两种选择，一种是进入该子集，一种是不进入该子集，所以有2^n种方法来生成子集。

圆周排列与重排列

圆周排列

从n个不同元素中取r个按照某种顺序（比如逆时针）排成一个圆圈，称之为圆周排列，用Q(n,r)表示。
C(n,r)=P(n,r)rC(n,r)= \frac{P(n,r)}{r} C(n,r)=rP(n,r)
圆周排列会使得线排列中不同的排列本质相同，比如：a1a2…ar和a2a3…ara1,不难知道，这样本质相同的线排列正好有r个，所以根据乘法原理可以推得上述公式（每r个排列只有一个是有效的）。

重排列

重排列定义：从n个不同元素中，可以重复选取r 个按照一定顺序排列起来，称之为重排列。

如果重数不限，很容易可以得到重排列数就为n^r种
多重集B=n1∗b1,n2∗b2,…,nk∗bk，它的全排列个数为：n!/(n1!n2!...nk!),这里n是诸ni之和。多重集B={n1*b1,n2*b2,…,nk*bk}，它的全排列个数为：n!/(n1!n2!...nk!),这里n是诸 ni之和。多重集B=n1∗b1,n2∗b2,…,nk∗bk，它的全排列个数为：n!/(n1!n2!...nk!),这里n是诸ni之和。
理解和证明都非常简单，先将所有相同的元素看成不同的元素来做全排列，然后对于n1来说，产生了n1!中重复的排列，根据除法原理可以得到这个式子

重排列一个几何上的应用和联想就是图，如下：

如果把往右走记作R，往上走记作U，这题可以看成m个U和n个R的重排列数。

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