正则化（Regularization）

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作ℓ1-norm和ℓ2-norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项即为L1正则化项。

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项即为L2正则化项。

一般回归分析中回归w表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为
L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α表示，一些文章也用λ表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

L1正则化和特征选择

假设有如下带L1正则化的损失函数：

其中J0是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J是带有绝对值符号的函数，因此J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0后添加L1正则化项时，相当于对J0做了一个约束。令，则J=J0+L，此时我们的任务变成在L约束下求出J0取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值，此时对于梯度下降法，求解J0的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数L也可以在的二维平面上画出来。如下图：

图1 L1正则化

图中等值线是J0的等值线，黑色方形是L函数的图形。在图中，当J0等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。上图中J0与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是。可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数α，可以控制L图形的大小。α越小，L的图形越大（上图中的黑色方框）；α越大，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值中的w可以取到很小的值。

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0与LL相交时使得等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则化和过拟合

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ，hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：

那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数θ的迭代式为：

其中α是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

其中λλ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，θj都要先乘以一个小于1的因子，从而使得θj不断减小，因此总得来看，θ是不断减小的。

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

正则化参数的选择

L1正则化参数

通常越大的λλ可以让代价函数在参数为0时取到最小值。下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。

假设有如下带L1正则化项的代价函数：

其中xx是要估计的参数，相当于上文中提到的以及θ. 注意到L1正则化在某些位置是不可导的，当λλ足够大时可以使得F(x)在x=0时取到最小值。如下图：

图3 L1正则化参数的选择

分别取λ=0.5和λ=2，可以看到越大的λ越容易使F(x)在x=0时取到最小值。

L2正则化参数

从公式5可以看到，λ越大，θj衰减得越快。另一个理解可以参考图2，λ越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。

Reference

过拟合的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss2.html

正则化的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss1.html

正则化的解释：
http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657

正则化的数学解释（一些图来源于这里）：
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995

机器学习中的正则化项（L1, L2）的理解相关推荐

[机器学习]正则化项L1和L2的学习与理解
正则化项L1和L2的学习与理解一,正则化(Regularization) 稀疏模型与特征选择的关系二, 为什么L1产生稀疏模型而L2可以防止过拟合 1, L1和L2正则化的直观理解正则化和特征选 ...
机器学习中的正则化——L1范数和L2范数
机器学习中的正则化--L1范数和L2范数正则化是什么?为什么要正则化? LP范数 L0范数(补充了解) L1范数 L2范数 L1范数和L2范数的区别以深度学习的角度看待L1范数和L2范数正则化是 ...
机器学习基础-23:矩阵理论(L0/L1/L2范数等)
机器学习基础-23:矩阵理论(L0/L1/L2范数等) 机器学习原理与实践(开源图书)-总目录,建议收藏,告别碎片阅读! 线性代数是数学的一个分支,广泛应用于科学和工程领域.线性代数和矩阵理论是机器学 ...
Tensorflow 中添加正则化项
为防止网络过拟合,在损失函数上增加一个网络参数的正则化项是一个常用方法,下面介绍如何在Tensorflow中添加正则化项. tensorflow中对参数使用正则项分为两步: step1: 创建一个正则 ...
端到端机器学习”中的“端到端”应如何理解
欢迎关注博主的公众号:happyGirl的异想世界.有更多干货还有技术讨论群哦~ 源链接 https://www.zhihu.com/question/264358398/answer/280694 ...
机器学习中正则化项L1和L2的直观理解
文章目录正则化(Regularization) 稀疏模型与特征选择的关系 L1和L2正则化的直观理解正则化和特征选择的关系为什么梯度下降的等值线与正则化函数第一次交点是最优解? L2正则化和过拟 ...
机器学习中正则化项L1和L2
机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项,常用的额外项一般有两种,一般英文称作ℓ1-norm和ℓ2-norm,中文称作 L1正则化和 L2正则化,或者 L1范数和 L2范数. 图像卷 ...
损失函数中正则化项L1和L2的理解
正则化(Regularization) 机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项,常用的额外项一般有两种,一般英文称作ℓ1-norm和ℓ2-norm,中文称作L1正则化和L2正则化,或者L ...
彻底搞懂机器学习中的正则化
正则化在机器学习当中是十分常见的,本次就来比较完整地总结一下~ 首先列一下本篇文章所包含的内容目录,方便各位查找: LP范数 L1范数 L2范数 L1范数和L2范数的区别 Dropout Batch ...
一文读懂机器学习中的正则化
来源:Poll的笔记本文约2600字,建议阅读5分钟还在被正则化困扰?本文为你答疑解惑! 目录 LP范数 L1范数 L2范数 L1范数和L2范数的区别 Dropout Batch Normaliz ...

机器学习中的正则化项（L1, L2）的理解