二项式定理与二项分布、多项式定理与多项分布

二项式定理与二项分布

二项式定理

二项式定理我们在高中就学过了，即：
(a+b)n=(n0)anb0+(n1)an−1b1+....+(nn−1)a1bn−1+(nn)a0bn=∑i=0n(ni)an−ibi(a+b)^n = {n \choose 0}a^nb^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1+....+{n \choose n-1}a^1b^{n-1} + {n \choose n}a^0b^{n} \\ = \displaystyle\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{n-i}b^i(a+b)n=(0n)anb0+(1n)an−1b1+....+(n−1n)a1bn−1+(nn)a0bn=i=0∑n(in)an−ibi
二项式定理可以这么理解：以第二项(n1)an−1b{n \choose 1}a^{n-1}b(1n)an−1b为例，我们可以在n个括号中，n-1个括号选择a，另一个括号选择b，那么总共有n个括号，每个括号都可以选择b，所以前面有系数(n1){n \choose 1}(1n)

二项式分布

二项分布适用的情况：一次实验结果只有A和B两种，在n次独立重复实验，设A发生的次数为k，每次试验中事件A发生的概率为p，那么事件A恰好发生K次的概率就可以用二项分布来计算：
P(X=K)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = K) = {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}P(X=K)=(kn)pk(1−p)n−k
最直观的例子就是抛N次硬币，计算有k次朝上或朝下的概率。
我们可以发现，二项分布的概率计算公式就是二项式定理的某一项，这也很容易理解，因为我们只是计算有k次正面朝上的概率，如果k从0遍历到n如果k从0遍历到n如果k从0遍历到n，那么就完全是二项式定理了。

多项式定理与多项式分布

这个过程和二项式定理与二项式分布的关系很相似。

多项式定理

多项式定理的某一项也可以按照二项式定理那么理解，我们可以在n个括号中选取r1r_1r1个x1x_1x1，有(nr1){n \choose r_1}(r1n)种取法，再在(n−r1)(n-r_1)(n−r1)个括号中选取r2r_2r2个x2x_2x2，有(n−r1r2){n-r_1 \choose r_2}(r2n−r1)种取法，，，，这样以此类推。根据乘法原理，应该有

这样前面的系数就出来了。

多项式分布

多项分布适用的情况：一次实验结果有X1,X2,...XkX_1, X_2, ... X_kX1,X2,...Xk种，n次独立重复实验，设XiX_iXi发生的次数分别为rir_iri，每次试验中事件XiX_iXi发生的概率为pip_ipi，那么事件X1,X2,...XkX_1, X_2, ... X_kX1,X2,...Xk恰好发生r1,r2,...rkr_1, r_2, ... r_kr1,r2,...rk次的概率就可以用多项分布来计算：
P(X1=r1,X2=r2,,,Xk=rk)=n!r1!r2!...rk!p1r1p2r2...pkrkP(X_1 = r_1, X_2 = r_2,,, X_k = r_k ) = {n! \over r_1!r_2!...r_k!}p_1^{r_1}p_2^{r_2}...p_k^{r_k}P(X1=r1,X2=r2,,,Xk=rk)=r1!r2!...rk!n!p1r1p2r2...pkrk

可以看到，多项式分布概率计算公式也是多项式定理的某一项。
多项式分布最直观的例子就是掷骰子，掷21次骰子，点数1,2,3,4,5,6朝上的次数分别是6,5,4,3,2,1的概率是多少，这样的问题就可以用多项式分布来建模。

参考：https://blog.csdn.net/apache_xiaochao/article/details/30535521