费马小定理【模板例题】

费马小定理：
如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，
则有a^（p-1）≡1（mod p）。
即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1
变式延伸：
在对质数 p 求余的条件下
n * a^p-1 ≡ n * 1 = n
a^p-2 ≡ a^-1 * 1 = a^-1　　
a^b ≡ a ^b-p+1　
(≡：等价）
费马小定理参考博客

例题

First：牛牛和牛可乐的赌约

题目原理

ans = mod + 1 - ( (1/n) % mod)^m

变式可得

(1/n)%mod ==> n^mod-1/ n ==> n^mod-2

推荐快速幂博客
（由于 mod 与 m 都很大，再利用快速幂即可得到答案）

#include<stdio.h>
#define ll long long
const ll mod = 1e9+7;ll quick(ll base, ll power)  //快速幂
{long long result=1;while(power){if(power&1)//只有奇数才乘以底数result=result*base%mod;base=base*base%mod;power=power>>1;}if(base==0){result=0;}return result%mod;
}int main(){int t;scanf("%d", &t);while(t--){ll n, m, ans;scanf("%lld%lld", &n, &m);ans = quick(n, mod-2)%mod;ans = quick(ans, m);ans = mod+1-ans;printf("%lld", ans);if(t!=0) printf("\n");}return 0;
}

Second：抽卡

解题思路

①、抽到牌概率 = 总概率 - 抽不到牌概率
②、费马小定理变形：(1/n)%mod = n^mod-1

实现代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int a[100010]={0}, b[100010]={0};
const int mod = 1e9+7;ll quick(ll base, ll power){ll ans=1;while(power){if(power&1)ans = ans*base%mod;power >>= 1;base = base*base%mod;}if(base==0) return 0;return ans;
}int main(){int n;scanf("%d", &n);for(int i=0; i<n; i++) scanf("%d", &a[i]);for(int i=0; i<n; i++) scanf("%d", &b[i]);ll ans=1;for(int i=0; i<n; i++){ans = (ans*(a[i]-b[i])%mod)*quick(a[i], mod-2)%mod;}printf("%d", (mod-ans+1)%mod);return 0;
}

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