CF1324F Maximum White Subtree
题意简述
题目链接
给定一棵无根树,每个节点要么是黑点要么是白点,要求对于每个节点u,选出包含u的一个连通子图,使cnt1-cnt2最大化,其中cnt1为该连通子图内白点数,cnt2为连通子图内黑点数。
算法概述
记每个节点的权值w[u]为1或-1,1表示该点为白点,-1表示该点为黑点。
定义dp[u]表示在以u为根的子树中选一张包含u的连通子图的所有方案中cnt1-cnt2的最大值。
显然dp[u]=w[u]+∑max(dp[v],0),其中v为u的子节点。这个式子的含义就是dp[u]必然是由u点以及其儿子的最大值组成的,而其所有儿子中,若某儿子的dp值小于0,则将其加上必然会使答案变得更差,故可以不选这个儿子,所以每次加之前要拿dp[v]与0做个比较。我们记vis[u]表示在计算节点u的父亲的dp值时,节点u是否有被选,1表示被选,0表示未选。
定义f[u]表示在整棵树中选一张包含u的连通子图的所有方案中,cnt1-cnt2的最大值。
考虑f[u]的组成:一部分是以其为根的子树,即dp[u];另一部分即是在全局中将其子树挖掉后剩下的部分。这两部分互相独立,分别取最大值即可。
考虑第二部分的计算:记u的父节点为fa,若vis[u]=1,则说明其包含在dp[fa]中,故这一部分即为f[fa]-dp[u];若vis[u]=0,即其不包含在dp[fa]中,则这一部分为f[fa]。最后将这一部分的值与0取max即可。
所以整个算法只需要两遍dfs,第一遍自底向上计算出dp数组,第二遍以f[1](强制1为根节点)自上向下计算出f数组,即为答案。
时间复杂度O(n)。
参考代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
struct Edge{
int to,next;
}edge[N<<1];int idx;
int h[N];
void add_edge(int u,int v){edge[++idx]={v,h[u]};h[u]=idx;}
int dp[N],f[N],vis[N],w[N];
int n;
void dfs1(int p,int fa)
{
dp[p]=w[p];
for(int i=h[p];~i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to;
if(to==fa)continue;
dfs1(to,p);
if(dp[to]>0)
{
vis[to]=1;
dp[p]+=dp[to];
}
}
}
void dfs2(int p,int fa)
{
for(int i=h[p];~i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].to;
if(to==fa)continue;
int val=f[p]-(vis[to]?dp[to]:0);
f[to]=dp[to]+(val>0?val:0);
dfs2(to,p);
}
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x;scanf("%d",&x);
w[i]=(x?x:-1);
}
for(int i=1;i<=n-1;i++)
{
int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
add_edge(u,v);
add_edge(v,u);
}
dfs1(1,0);
f[1]=dp[1];
dfs2(1,0);
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",f[i]);
return 0;
}
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