CF 1324-F Maximum White Subtree //树形换根dp

题目链接

http://codeforces.com/problemset/problem/1324/F

题意

给你一棵树( n n n 个顶点)和一个数组 a i a_i ai，每个顶点要不是白色( a i a_i ai为 1 1 1 )，要不是黑色( a i a_i ai为 0 0 0 )，问对于每个点( 设为 i i i )，包含 i i i 点的联通块中，白点和黑点的最大差值为多少 (即：max( c n t 白 − c n t 黑 cnt_{白}-cnt_{黑} cnt白−cnt黑) )

解析

对于树上的任意结点来说，贡献可以分为两部分，一部分是儿子给的(第一遍 dfs统计出来)，一部分是父亲给的(第二遍 dfs 计算出来)，所以我们可以分别考虑各自的贡献。

定义 d p [ u ] dp[u] dp[u]：表示包含 u u u 的连通块中 max( c n t 白 − c n t 黑 cnt_{白}-cnt_{黑} cnt白−cnt黑)，我们第一遍 dfs 定根只考虑儿子的贡献 (回溯来更新)，显然只要 d p [ s o n u ] > = 0 dp[son_u]>=0 dp[sonu]>=0 才会对 u u u 有贡献，也即是 d p [ u ] = d p [ u ] + d p [ s o n u ] dp[u]=dp[u]+dp[son_u] dp[u]=dp[u]+dp[sonu]

第二遍 dfs 自顶向下来给各点加上父亲的贡献，设 f a fa fa 为 u u u 点的父亲，如果 d p [ u ] > d p [ f a ] dp[u]>dp[fa] dp[u]>dp[fa] 则 d p [ u ] dp[u] dp[u] 应不再考虑父亲贡献，因为若考虑父亲的贡献会使 d p [ u ] dp[u] dp[u] 更小。
但如果 d p [ u ] < d p [ f a ] dp[u]<dp[fa] dp[u]<dp[fa]，我们需要分两步考虑：
(1)如果 d p [ u ] > = 0 dp[u]>=0 dp[u]>=0 说明 f a fa fa 在统计儿子贡献的时候把 u u u 包含进去了，所以 u 和 f a u和fa u和fa 是在同一连通块里。此时 d p [ u ] = d p [ f a ] dp[u]=dp[fa] dp[u]=dp[fa]
(2)如果 d p [ u ] = = − 1 dp[u]==-1 dp[u]==−1 说明 u 和 f a u和fa u和fa 不在统一连通块里，所以为了使 d p [ u ] dp[u] dp[u] 变大，此时应加上父亲贡献： d p [ u ] + = d p [ f a ] dp[u]+=dp[fa] dp[u]+=dp[fa]

思想

这其实是树形 d p dp dp 的一种换根的思想，针对于根不定的情况，具体步骤基本就这几步：
(1)第一遍 dfs 只统计每个点儿子的贡献，一般是随意选个根，递归下去，回溯更新儿子贡献。因为回溯更新时，每次你考虑当前结点 u u u 时， s o n u son_u sonu 的贡献咱已经得出了，可以拿来用。
(2)第二遍 dfs 开始考虑父亲的贡献，就是把当前结点当作根时，还差多少，就加多少，这个一般是从第一遍 dfs 选的根开始自顶向下在递归的过程中考虑父亲的贡献，因为每次自顶向下时，每次你考虑当前结点 u u u 时， f a u fa_u fau 作为根的贡献咱已经得出了，可以拿来用。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ft first
#define sd second
#define pb push_back
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int maxn=2e5+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int a[maxn];
vector<int> g[maxn];
int dp[maxn];
//第一遍统计儿子的贡献
void dfs(int u,int fa){dp[u]=a[u];for(auto v: g[u]){if(v==fa)continue;dfs(v,u);if(dp[v]>=0)dp[u]+=dp[v];}
}
//第二遍把父亲的贡献加上
void _dfs(int u,int fa){for(auto v: g[u]){if(v==fa)continue;if(dp[u]>dp[v]){if(dp[v]>=0)dp[v]=dp[u];else dp[v]+=dp[u];}_dfs(v,u);}
}
int main() {cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);if(a[i]==0)a[i]=-1;}for(int i=1,u,v;i<n;i++){scanf("%d%d",&u,&v);g[u].pb(v);g[v].pb(u);}dfs(1,0);_dfs(1,0);for(int i=1;i<=n;i++){printf("%d%c",dp[i],i==n?'\n':' ');}return 0;
}

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