线性规划原问题与对偶问题
文章目录
- 1. 对偶问题
- 2. 原问题和对偶问题的对应关系
- 3. 举例
- 参考
1. 对偶问题
任一线性规划问题都存在另一与之伴随的线性规划问题，它们组成一对互为对偶的线性规划问题。
线性规划的对偶问题与原问题互为对偶，线性规划的原问题与对偶问题地位具有对称关系。
2. 原问题和对偶问题的对应关系
3. 举例
原问题：
maxz=cxs.t. {Ax≤bx≥0\max z = \bm{cx} \\ \text{s.t. } \left\lbrace \begin{array}{ll} \bm{Ax} \leq \bm{b} \\ \bm{x} \geq 0 \\ \end{array} \right. maxz=cxs.t. {Ax≤bx≥0
对偶问题：
minw=ybs.t. {yA≥cy≥0\min w = \bm{yb} \\ \text{s.t. } \left\lbrace \begin{array}{ll} \bm{yA} \geq \bm{c} \\ \bm{y} \geq 0 \\ \end{array} \right. minw=ybs.t. {yA≥cy≥0
原问题：
maxz=3x1+5x2s.t. {x1≤4,2x2≤123x1+2x2≤18x1≥0,x2≥0\max z = 3x_1 + 5x_2 \\ \text{s.t. } \left\lbrace \begin{array}{ll} x_1 \leq 4, \\ 2x_2 \leq 12 \\ 3x_1 + 2x_2 \leq 18 \\ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \\ \end{array} \right. maxz=3x1+5x2s.t. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1≤4,2x2≤123x1+2x2≤18x1≥0,x2≥0
其中，约束方程系数矩阵 A\bm{A}A，约束方程常数矩阵 b\bm{b}b，目标方程系数矩阵 c\bm{c}c，变量 x\bm{x}x
A=[100232],b=[41218],c=[35],x=[x1x2]\bm{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}, \bm{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 12 \\ 18 \\ \end{bmatrix}, \bm{c} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \end{bmatrix}, \bm{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} A=⎣⎡103022⎦⎤,b=⎣⎡41218⎦⎤,c=[35],x=[x1x2]
对偶问题：
y=[y1y2y3],\bm{y} = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ \end{bmatrix}, y=[y1y2y3],
minw=4y1+12y2+18y3s.t. {y1+3y3≥3,2y2+2y3≥5y1≥0,y2≥0,y3≥0\min w = 4y_1 + 12y_2 + 18y_3 \\ \text{s.t. } \left\lbrace \begin{array}{ll} y_1 + 3y_3 \geq 3, \\ 2y_2 + 2y_3 \geq 5 \\ y_1 \geq 0, y_2 \geq 0, y_3 \geq 0 \\ \end{array} \right. minw=4y1+12y2+18y3s.t. ⎩⎨⎧y1+3y3≥3,2y2+2y3≥5y1≥0,y2≥0,y3≥0
参考
- 《运筹学》 第四版 徐玖平，胡知能 编著
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