【运筹学】对偶理论 : 互补松弛性 ( 原问题与对偶问题标准形式 | 互补松弛定理 | 互补松弛定理示例说明 )
文章目录
- 一、原问题与对偶问题标准形式
- 二、互补松弛定理
- 三、互补松弛定理示例说明
一、原问题与对偶问题标准形式
原问题 P\rm PP : maxZ=CXs.t{AX≤bX≥0\begin{array}{lcl} \rm maxZ = C X \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm AX \leq b \\\\ \rm X \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧AX≤bX≥0 ; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, 对偶问题 D\rm DD : minW=bTYs.t{ATY≥CTY≥0\begin{array}{lcl} \rm minW = b^T Y \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm A^TY \geq C^T \\\\ \rm Y \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=bTYs.t⎩⎪⎨⎪⎧ATY≥CTY≥0
等价方法 :
- 生产 : 目标函数追求 利润最大化 , 约束方程设备的使用时长受约束 , 小于等于 某个时间值 ;
- 出租设备 : 目标函数追求 租金最小化 , 约束方程设备产生的利润要 大于等于 生产的利润 , 不能亏钱 ;
二、互补松弛定理
X0\rm X^0X0 和 Y0\rm Y^0Y0 分别是 原问题 P\rm PP 问题 和 对偶问题 D\rm DD 的 可行解 ,
这两个解各自都是对应 线性规划问题 的 最优解
的 充要条件是 : {Y0Xs=0YsX0=0\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧Y0Xs=0YsX0=0
其中 Xs,Ys\rm X_s , Y_sXs,Ys 是 松弛变量 或 剩余变量 ;
三、互补松弛定理示例说明
原问题与对偶问题的对应关系 :
生产问题 ( 原问题 ) :
maxZ=2x1+3x2s.t{2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm maxZ = 2x_1 + 3x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 2 x_1 + 2x_2 \leq 12 \\\\ \rm x_1 + 2x_2 \leq 8 \\\\ \rm 4 x_1 \leq 16 \\\\ \rm 4x_2 \leq 12 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=2x1+3x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1,x2≥0
上述线性规划的最优解是 : (42)\begin{pmatrix} \quad \rm 4 \quad 2 \quad \\ \end{pmatrix}(42) ;
甲产品生产 444 个单位 , 乙产品生产 222 个单位 ;
设备出租问题 ( 对偶问题 ) :
minW=12y1+8y2+16y3+12y4s.t{2y1+y2+4y3+0y4≥22y1+2y2+0y3+4y4≥3y1,y2,y3,y4≥0\begin{array}{lcl} \rm minW = 12y_1 + 8y_2 + 16y_3 + 12y_4 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 2 y_1 + y_2 + 4y_3 + 0y_4 \geq 2 \\\\ \rm 2 y_1 + 2y_2 + 0y_3 + 4y_4 \geq 3 \\\\ \rm y_1, y_2 , y_3 , y _4 \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=12y1+8y2+16y3+12y4s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧2y1+y2+4y3+0y4≥22y1+2y2+0y3+4y4≥3y1,y2,y3,y4≥0
上述线性规划最优解是 : (12100)\begin{pmatrix} \quad \rm \cfrac{1}{2} \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad \\ \end{pmatrix}(21100) , 或 (023180)\begin{pmatrix} \quad \rm 0 \quad \cfrac{2}{3} \quad \cfrac{1}{8} \quad 0 \quad \\ \end{pmatrix}(032810)
将上面两个线性规划的最优解代入目标函数 , 得到的值都是 141414 ;
互补松弛定理 :
" X0\rm X^0X0 和 Y0\rm Y^0Y0 分别是 原问题 P\rm PP 问题 和 对偶问题 D\rm DD 的 最优解 " ⇔\Leftrightarrow⇔ {Y0Xs=0YsX0=0\begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧Y0Xs=0YsX0=0
其中 Xs,Ys\rm X_s , Y_sXs,Ys 是 松弛变量 或 剩余变量 ;
(42)\begin{pmatrix} \quad \rm 4 \quad 2 \quad \\ \end{pmatrix}(42) 是原问题 P\rm PP 的最优解 , 是 X0\rm X^0X0 ,
Ys\rm Y_sYs 是对偶问题 D\rm DD 的剩余变量 , {2y1+y2+4y3+0y4−y5=22y1+2y2+0y3+4y4−y6=3\begin{cases} \rm 2 y_1 + y_2 + 4y_3 + 0y_4 - y_5 = 2 \\\\ \rm 2 y_1 + 2y_2 + 0y_3 + 4y_4 - y_6 = 3 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧2y1+y2+4y3+0y4−y5=22y1+2y2+0y3+4y4−y6=3 , 两个剩余变量是 (y5y6)\begin{pmatrix} \quad \rm y_5 \quad \\ \quad \rm y_6 \quad \\ \end{pmatrix}(y5y6) , 是 Ys\rm Y_sYs ,
根据互补松弛定理 , YsX0=0\rm Y_sX^0 = 0YsX0=0 , 将真实值代入 :
YsX0=(42)×(y5y6)=4y5+2y6=0\rm Y_sX^0 = \begin{pmatrix} \quad \rm 4 \quad 2 \quad \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \quad \rm y_5 \quad \\ \quad \rm y_6 \quad \\ \end{pmatrix} =4 y_5 + 2y_6 = 0YsX0=(42)×(y5y6)=4y5+2y6=0
y5,y6\rm y_5 , y_6y5,y6 都是大于等于 000 的 , 如果要满足 4y5+2y6=0\rm 4 y_5 + 2y_6 = 04y5+2y6=0 , 则得到 y5=0,y6=0\rm y_5 = 0, y_6 = 0y5=0,y6=0 结论 ;
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