matlab复数开偶次方根,运用复数1的n次方根巧解一类复数方程
复数开方是复数三角形式有关运算中相对比较复杂的一种运算。本文笔者拟就一类比较特殊的复数开方运算浅谈一点自己的管见,不到之处,恳请广大专家和读者批评指正。
一:温故、探究
在初中阶段学习解一元二次方程时,介绍了一种开平方法。然而,初中学生在解方程的实际过程中,应用起来却比较少。因为这种解法都可以转化为常用解法(公式法、因式分解法)来求解。但是,它对于复数开方运算有着十分积极的指导意义。开平方法,是利用了求一个非负实数的平方根。更深层次地讲,是利用了非负实数的一个算术平方根与实数1的两个平方根(+1、
)的积。
例1. 解方程:
解:因为9的算术平方根为3,所以x1=3 (3=3*1)
( )
例2. 解方程: =0
解:先配方, =0
得 =9 再利用开平方法得 或
解得
二:迁移、创新
随着学习的深入,进了高中,数域的范围由实数扩大到复数。在复数范围内,存在着类似的解方程问题。首当其冲的是,在实数范围内无解的实系数一元二次方程必有一对共轭的虚数解。
例3. 在复数范围内解方程: =0
解:先配方, =0
得 =
或
解得
小结:复数 的二次方根为 和 。类似于实数范围内,如果定义 为复数 的最简二次方根,则 =1*
, = * ,其中,1和
是1的两个平方根。
于是,在复数范围内解实系数一元二次方程,总可以先将该方程二次项系数化为1,再按二次项和一次项系数进行配方,最后运用类似于开平方法进行求解。但是,对于复系数一元二次方程,配方仍可以类似进行,然而,要求得一个最简二次方根,却相对比较困难。这时,可以将复数的代数形式化为三角形式,再利用三角形式的开方法则进行运算。
如何定义一个复数的最简n次方根呢?在此,我们借用复数的三角形式,非零复数r(cosθ+isinθ) (r≠0)的n次方根
是n个复数,它们是 (cos +isin
) k=0,1,2,……,n-1
当θ是[0,2π)内的最小正角时,复数 (cos +isin
)称为非零复数r(cosθ+isinθ)(r≠0)的最简n次方根。
三:推广、应用
1.复数1的两个二次方根分别为:1、-1
复数1的三个三次方根分别为:1、cos +isin
、cos +isin
复数1的四个四次方根分别为:1、i、-1、-i
一般地,复数1的n个n次方根依次为:
1、cos
+isin 、cos +isin 、……cos +isin
2.非零复数r(cosθ+isinθ) (r≠0,θ∈[0,2π))的最简n次方根为 (cos +isin
), 则它的n个n次方根依次为: (cos +isin
)、
(cos +isin )* (cos +isin )、
(cos +isin )*( cos +isin )、
……
(cos +isin )*( cos +isin )
这就告诉我们,要求一个复数的最简n次方根,首先将已知复数化为三角形式,并使用辐角主值。那么,最简n次方根的模是已知复数模的n次方根,辐角是已知复数辐角主值的n分之一。
3.适用对象:含有未知数的一次式的n次方与已知复数的n次方相等。这个已知复数可以不是最简n次方根的形式。
例4. 在复数范围内解方程:(1+x)4=(-1+
i)4。
分析:一般地,可以先将-1+
i化为三角形式,利用棣莫弗定理求出四次方,再利用复数三角形式的开方,求出1+x,进而求得x。
解:-1+ i =2(- + )=2(cos +isin
)
(-1+ i)4=[2(cos +isin )]4=16(cos +isin
)
= 16(cos +isin )
于是,1+x=2(cos +isin
) k=0,1,2,3
所以,x=2(cos +isin
)-1 k=0,1,2,3
因此,x1=2(cos +isin )-1=-1+ +i
x2=2(cos +isin )-1=-2+ i
x3=2(cos +isin )-1=-1- -i
x4=2(cos +isin )-1=- i
这种解法思路比较清晰,但运算过于复杂,一不小心,就容易发生计算上的错误。在这个计算过程中,是先乘方,再开方,并且都是四次。若采用上述方法,不但可以简化计算,而且可以大大提高计算的正确率。
解法二:由题设可知, +
i是复数(1+x)4的一个四次方根,当然,不一定是最简四次方根。因此,必有
1+x=-1+
i 1+x=(-1+ i)i =- -i
1+x=-1*(-1+ i)=1-
i 1+x=-i(-1+ i)= +i
所以,x1=-2+
i x2=-1- -i x3=- i x4=-1+ +i
但是,下面这个例题中,复数的辐角不是特殊角。如果乘方后再运用棣莫弗定理进行开方,运算起来就比较复杂,然而运用复数1的6次方根就可以很巧妙地解出来。
例5. 在复数范围内解方程:x6=(3-4i)6
解:复数1的6个6次方根依次为:1、cos +isin 、cos +isin 、cos +isin 、cos +isin
、cos +isin 。于是,
x1=(3-4i)*1=3-4i 、
x2=(3-4i)*(cos +isin )
=(3-4i)*( + i)=( +2 )+(
-2)i
x3=(3-4i)*(cos +isin )
=(3-4i) *(- + i)=(- +2 )+( +2)i
x4=(3-4i)*(cos +isin )
=(3-4i)*(-1)=-3+4i
x5=(3-4i)*(cos +isin )
=(3-4i) *(- - i)=(- -2 )+(-
+2)i
x6=(3-4i)*(cos +isin )
=(3-4i) *( - i)=( -2 )-(
+2)i
例6.写出复数32的所有5次方根。
解:因为复数32的最简5次方根为:2;复数1的5个5次方根依次为:1、cos +isin 、cos +isin 、cos
+isin 、cos +isin 。
所以复数32的所有5次方根依次为:
2、2(cos +isin )、2(cos +isin )、2(cos +isin )、2(cos +isin )。
例6. 写出复数32i的所有5次方根。
解:因为复数32i有一个5次方根为:2i;复数1的5个5次方根依次为:1、cos +isin 、cos +isin 、cos
+isin 、cos +isin 。
所以复数32i的所有5次方根依次为:
2i
2i(cos +isin )=2(cos +isin
)
2i(cos +isin )=2(cos +isin )
2i(cos +isin )=2(cos +isin
)
2i(cos +isin )=2(cos +isin )
=2(cos
+isin )
正如前面所述,并不一定要找到复数的最简n次方根,只要确定它的一个n次方根就可以了。当然,对于那些不便于配方的高次方程,就只好通过复数三角形式的开方运算来进行了。
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