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MATLAB巧解微分方程实例分析

王少华 西安电子科技大学

微分方程求解难，

字母一堆看着烦。

写错数字一时爽，

一直写错一直爽。

还记得那是大一第一学期快结束了，学到微分方程那了，学时挺高兴的，看老师那刷刷地，那么长的方程半个黑板就解完了，黑板上那叫一个主次分明，结构清晰，什么特征方程，齐次通解，非齐次特解，然后俩一加就是非齐次通解。心想挺简单的嘛。(后来自己算时才知道什么叫“真香”)

回去有作业题，第一道是齐次微分方程，立刻换元，化成可分离变量的微分方程，一会儿结果就出来了。然后就是一道二阶非齐次常系数线性微分方程，那不就是死套路嘛，照着解不就行了。提笔算来，算起虽然繁琐，但好歹多半张演算纸还是算出来了，一对答案，不对。emmmm，顿时眉头一皱，提笔再算一遍。一会儿，对答案，不仅和答案不一样，和第一次算出来得也不一样，这就有点酸爽了，算第三遍时，心就有点着急了，这怎么就算不对呢？越想越着急，越着急，式子写得越乱，然后那两个小时就基本上没干其他事了。

大二选了matlab课，感觉这玩意儿tql(太强了)，然后突发奇想，用这软件不恰可以抚慰我那被微分方程伤害了的幼小得心灵嘛。

说弄就弄：

解决我们的微分方程就要用到dsolve()这个重要的函数。其完整形式为：

dsolve(‘eqn’,’cond’,’var’)

没接触过matlab的小兄弟可能看着有点懵，这是啥。暂且听我慢慢道来：eqn代表微分方程，cond代表初始条件(无初始条件可以缺省)，var代表微分方程中的自变量(默认为t)。

对了，重要的一阶导，二阶导，等高阶导怎么表示呢？别着急，也很简单。该命令中可以用D表示倒数符号，其中D2表示二阶导数，D3表示三阶导数，以此类推。

说了这么多，来看一个实例，来求求下面这个式子的通解：

你只需要在命令行窗口输入

dsolve('D2y=Dy+x','x')

然后轻点回车键答案就出来了。

图1-1

让我们更进一步，如果我们要求特解，那么我们在函数中加上初始条件就可以喽。让我们再看一个实例：

你只需要在命令行窗口输入

dsolve('D2y=Dy+x','y(1)=1','Dy(1)=0','x')

然后轻点回车键答案就出来了。

图1-2

相信，掌握了dsolve()这个函数，大部分的微分方程都会迎刃而解的。

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挖坑一时爽，

填坑火葬场。

不是我不填，

坑多填不完。

填坑一：如果你没有用过matlab这个软件，那么可以参考网上教程先安装一个。

参考教程：https://blog.csdn.net/LeonSUST/ article/details/ 84038216

填坑二：其实有的常微分方程用dslove()这个函数是无法求出解析解的。(//小编已经逃到你打不到地方喽)解释一下原因：函数dsolve()是求常微分方程的精确解法(求出来的是解析解)，但是有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但实际上我们却无法用matlab求出来。

填坑三：那对于那些求不出来解析解的常微分方程，我们该怎么办呢？其实我们还可尝试求其数值解。至于怎样用matlab求数值解，大家可以自行百度哦。(//在作死边缘疯狂试探)

填坑四：对于要考高数的“难兄难弟”们，认真总结各种微分方程的解法是必要的，切记：投机取巧一时爽，卷子下来火葬场。

下图为小编自己的笔记，虽然丑，但是对小编背诵各种方程的解法还是有用的。

图1-3

填坑四：下面补充一些用matlab解微分方程的例子供大家参考。

(1) 可分离变量型

Matlab解法：

图1-4

Ps:咱们需要对原方程进行适当的变换。

(2) 齐次方程

Matlab解法：

图1-5

Ps：无解析解，所以还是乖乖按老师讲的方法做吧。

(3) 一阶线性微分方程

Matlab解法：

图1-6

Ps:matlab中的ln()使用log()表示。

(4) 伯努利方程

Matlab解法：

图1-7

(5) 可降阶的高阶微分方程

Matlab解法：

图1-8

Ps：大家可以自己用笔算算对对答案嘛。

(6) 常系数齐次线性微分方程

Matlab解法：

图1-9

(7) 常系数非齐次线性微分方程

Matlab解法：

图1-10

Ps:exp()代表e的多少次方。

(8) 欧拉方程

Matlab解法：

图1-11

声明：作者只是一名大二学生，学识有限，如有错误，请评论出来，咱会及时纠正；如有建议，也可以评论出来，咱会择优采纳；如想吐槽，也可评论出来，咱看了也不会生气。

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最后，“难兄难弟”们

道路千万条，

上课第一条。

上课不规范，

大四两行泪。

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