最优二叉树（霍、赫、哈夫曼树）

路径：由一结点到另一结点间的分支所构成。

路径长度：路径上的分支数目。a→e的路径长度＝2

树的路径长度：从树根到每一结点的路径长度之和。树长度＝10

带权路径长度：结点到根的路径长度与结点上权的乘积。

树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

哈夫曼树：带权路径长度最小的二叉树。

Huffman树简介

树的带权路径长度Weighted Path Length

哈夫曼树则是：WPL 最小的二叉树。

有n个权值分别为w1、w2…、wn，构造一颗有n个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带的权值为wi，其中WPL最小的二叉树叫做最优二叉树

哈夫曼树的特点：

1. 权值越大的叶子结点越靠近根结点，而权值越小的叶子结点越远离根结点。

2. 只有度为0（叶子结点）和度为2（分支结点）的结点，不存在度为1的结点.

构造哈夫曼树的基本思想：

权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。

构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：

(1) 由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。

(2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止：

① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树上根结点的权值之和。

② 在 F 中删去这两棵二叉树。

③ 把新的二叉树加入 F。

操作要点：合并、删除与替换

哈夫曼树的应用：哈夫曼编码

设有4个字符d,i,a,n，出现的频度分别为7,5,2, 4，怎样编码才能使它们组成的报文在网络中传得最快？

等长编码，例如用二进制编码来实现。取 d=00，i=01，a=10，n=11

不等长编码，例如用哈夫曼编码来实现。取 d=0; i=10, a=110, n=111

最快的编码是非等长的Huffman码！

实现Huffman编码先要构造Huffman树！

构造Huffman树的步骤：

操作要点1：对权值的合并、删除与替换 ——在权值集合{7,5,2,4}中，总是合并当前值最小的两个权

注：方框表示外结点（叶子，字符对应的权值），圆框表示内结点（合并后的权值）。

操作要点2：按左0右1对Huffman树的所有分支编号！

将 Huffman树与 Huffman编码挂钩。

Huffman编码结果：d=0, i=10, a=110, n=111，WPL=1bit×7＋2bit×5+3bit(2+4)=35

特点：每一码都不是另一码的前缀，绝不会错译! 称为前缀码

霍夫曼编码的基本思想是：概率大的字符用短码，概率小的用长码。由于霍夫曼树的WPL最小，说明编码所需要的比特数最少。这种编码已广泛应用于网络通信中。

对应的哈夫曼编码（左0右1）：

Huffman码WPL＝2(0.19+0.32+0.21) + 4(0.07+0.06+0.10) +5(0.02+0.03) =1.44+0.92+0.25=2.61

二进制码WPL＝3(0.19+0.32+0.21+0.07+0.06+0.10+0.02+0.03)=3

另一种结果表示：

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