2.使用LASSO

LASSO定义。LASSO是一种惩罚回归技术，在Tibshirani(1996)中引入。它通过投注稀疏性来同时识别和估计最重要的系数，使用更短的采样周期 - 也就是说，假设在任何时间点只有少数变量实际上很重要。正式使用LASSO意味着解决下面的问题， 事实上，如果你忽略了最右边的术语 - 惩罚函数，那么这个优化问题就只是一个OLS回归。

惩罚功能。但是，这个惩罚函数是LASSO成功的秘诀，允许估算器对最大系数给予优先处理，完全忽略较小系数。为了更好地理解LASSO如何做到这一点，当右侧变量不相关且具有单位方差时 。一方面，这个解决方案意味着，如果OLS估计一个大系数，那么LASSO将提供类似的估计，。另一方面，解决方案意味着，如果OLS估计了足够小的系数，那么LASSO将会选择。因为LASSO可以将除少数系数之外的所有系数设置为零，即使样本长度比可能的预测变量的数量短得多，它也可用于识别最重要的预测变量。从道德上讲，如果只有预测变量非零，那么你应该只需要几个 观察选择然后估计这几个重要系数的大小。

3.模拟分析

我运行模拟来展示如何使用LASSO来预测未来的回报。您可以在此处找到所有相关代码。

数据模拟。每次模拟都涉及为期间的股票产生回报。每个时期，所有股票的回报都受到一部分股票的回报，以及特殊冲击的影响

使模型适合数据。用于从每个周期到，我估计在第一库存LASSO，如(公式定义2使用先前的)数据的时间段，其中可能预测是股票。这意味着使用时间段来估计具有潜在右侧变量的模型。作为有用的基准，我还从方程(1)和oracle回归估计自回归模型。在本规范中，我估计了一个OLS回归真正的预测因子是右侧变量。显然，在现实世界中，你不知道真正的预测器是什么，但是这个规范给出了你可以达到的最佳拟合的估计。在将每个模型拟合到先前的数据周期之后，然后我在st期间进行样本外预测。

预测回归。然后，我通过分析一系列预测回归分析调整后的统计数据，检查这些预测与第一个资产的实现回报的紧密程度。例如，我将LASSO的回报预测用于估算下面的回归

4.调整参数

惩罚参数选择。使LASSO适合数据涉及选择惩罚参数，。我这样做是通过选择在数据的第一个时段期间具有最高样本外预测的惩罚参数。这就是为什么上面的预测回归仅使用从而不是使用数据开始的原因。下图显示了模拟中惩罚参数选择的分布。离散跳转来自我在运行代码时考虑的可能s 的离散网格。

预测数量。最后，如果你看一下调整后数字中标有“Oracle”的面板，你会发现LASSO的样本外预测能力大约是真实模型预测能力的三分之一。这是因为LASSO没有完美地选择稀疏信号。下图的右侧面板显示LASSO通常只选出这些信号中最重要的信号。更重要的是，左侧面板显示LASSO还锁定了大量的虚假信号。这一结果表明，您可以通过选择更高的惩罚参数来提高LASSO的预测能力。

5.什么时候失败？

安慰剂测试。我通过研究两个替代模拟来结束这篇文章，其中LASSO不应该增加任何预测能力。在第一个替代设置中，没有冲击。也就是说，使用下面的模型模拟股票的收益，

(7)

在第二种情况下，有太多的冲击：。下图显示，在这两种情况下，LASSO都不会增加任何预测能力。因此，运行这些模拟提供了一对不错的安慰剂测试，显示LASSO确实在返回的横截面中拾取稀疏信号。

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