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最初想法\color{blue}{最初想法}最初想法

∑i=lr∑j=i+1r(xiyj−xjyi)2=∑i=lrxi2∑j=i+1ryj2+∑i=lryi2∑j=i+1rxj2−2∑i=lrxiyi∑j=i+1rxjyj\begin{aligned}&\ \ \ \ \sum_{i=l}^{r}\sum_{j=i+1}^r(x_iy_j-x_jy_i)^2 \\ &= \sum_{i=l}^rx_i^2\sum_{j=i+1}^ry_j^2 + \sum_{i=l}^ry_i^2\sum_{j=i+1}^rx_j^2-2\sum_{i=l}^rx_iy_i\sum_{j=i+1}^rx_jy_j\\ \end{aligned} i=l∑rj=i+1∑r(xiyj−xjyi)2=i=l∑rxi2j=i+1∑ryj2+i=l∑ryi2j=i+1∑rxj2−2i=l∑rxiyij=i+1∑rxjyj

然后处理前缀和, 时间复杂度 O(N2)O(N^2)O(N2) .

正解部分\color{red}{正解部分}正解部分

接着上式化简得

∑i=lrxi2∑j=i+1ryj2+∑i=lryi2∑j=i+1rxj2−2∑i=lrxiyi∑j=i+1rxjyj=∑i=lrxi2∑j=i+1ryj2+∑i=lrxi2∑j=li−1yj2−(∑i=lrxiyi∑j=lrxjyj−∑i=lrxi2yi2)=∑i=lrxi2(∑j=lryj2−yi2)−∑i=lrxiyi∑j=lrxjyj+∑i=lrxi2yi2=∑i=lrxi2∑j=lryj2−∑i=lrxi2yi2−∑i=lrxiyi∑j=lrxjyj+∑i=lrxi2yi2=∑i=lrxi2∑j=lryj2−∑i=lrxiyi∑j=lrxjyj\begin{aligned} &\ \ \ \ \sum_{i=l}^rx_i^2\sum_{j=i+1}^ry_j^2 + \sum_{i=l}^ry_i^2\sum_{j=i+1}^rx_j^2-2\sum_{i=l}^rx_iy_i\sum_{j=i+1}^rx_jy_j\\ &= \sum_{i=l}^rx_i^2\sum_{j=i+1}^ry_j^2 + \sum_{i=l}^rx_i^2\sum_{j=l}^{i-1}y_j^2 - (\sum_{i=l}^rx_iy_i\sum_{j=l}^rx_jy_j - \sum_{i=l}^r x_i^2y_i^2)\\ &= \sum_{i=l}^rx_i^2(\sum_{j=l}^ry_j^2 - y_i^2) - \sum_{i=l}^rx_iy_i\sum_{j=l}^rx_jy_j + \sum_{i=l}^r x_i^2y_i^2\\ &= \sum_{i=l}^rx_i^2\sum_{j=l}^ry_j^2 - \sum_{i=l}^rx_i^2y_i^2 - \sum_{i=l}^rx_iy_i\sum_{j=l}^rx_jy_j + \sum_{i=l}^r x_i^2y_i^2 \\ &= \sum_{i=l}^rx_i^2\sum_{j=l}^ry_j^2 - \sum_{i=l}^rx_iy_i\sum_{j=l}^rx_jy_j \end{aligned} i=l∑rxi2j=i+1∑ryj2+i=l∑ryi2j=i+1∑rxj2−2i=l∑rxiyij=i+1∑rxjyj=i=l∑rxi2j=i+1∑ryj2+i=l∑rxi2j=l∑i−1yj2−(i=l∑rxiyij=l∑rxjyj−i=l∑rxi2yi2)=i=l∑rxi2(j=l∑ryj2−yi2)−i=l∑rxiyij=l∑rxjyj+i=l∑rxi2yi2=i=l∑rxi2j=l∑ryj2−i=l∑rxi2yi2−i=l∑rxiyij=l∑rxjyj+i=l∑rxi2yi2=i=l∑rxi2j=l∑ryj2−i=l∑rxiyij=l∑rxjyj

实现部分\color{red}{实现部分}实现部分

使用树状数组维护即可 .

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
typedef long long ll;int read(){char c;int s = 0, flag = 1;while((c=getchar()) && !isdigit(c))if(c == '-'){ flag = -1, c = getchar(); break ; }while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();return s * flag;
}const int maxn = 1000005;
const int mod = 20170927;int N;
int M;ll v[maxn][2];struct Bit_Tree{ll v[maxn];void Add(int k, ll p){ p%=mod; while(k<=N)v[k]+=p,k+=k&-k; }ll Query(int k){ ll s = 0; while(k)s+=v[k],s%=mod,k-=k&-k; return s; }
} bit_t[3];void Work(){int opt = read();if(opt == 1){int pos = read();bit_t[0].Add(pos, -v[pos][0]*v[pos][0]);bit_t[1].Add(pos, -v[pos][1]*v[pos][1]);bit_t[2].Add(pos, -v[pos][0]*v[pos][1]);v[pos][0] = read(), v[pos][1] = read();bit_t[0].Add(pos, v[pos][0]*v[pos][0]);bit_t[1].Add(pos, v[pos][1]*v[pos][1]);bit_t[2].Add(pos, v[pos][0]*v[pos][1]);}else{int l = read(), r = read();ll Tmp_1 = bit_t[0].Query(r) - bit_t[0].Query(l-1);ll Tmp_2 = bit_t[1].Query(r) - bit_t[1].Query(l-1);ll Tmp_3 = bit_t[2].Query(r) - bit_t[2].Query(l-1);Tmp_1 = (Tmp_1 % mod + mod) % mod;Tmp_2 = (Tmp_2 % mod + mod) % mod;Tmp_3 = (Tmp_3 % mod + mod) % mod;printf("%lld\n", ( (Tmp_1*Tmp_2%mod) - (Tmp_3*Tmp_3%mod) + mod ) % mod);}
}int main(){N = read(), M = read();for(reg int i = 1; i <= N; i ++) v[i][0] = read(), v[i][1] = read(); for(reg int i = 1; i <= N; i ++){bit_t[0].Add(i, v[i][0]*v[i][0]);bit_t[1].Add(i, v[i][1]*v[i][1]);bit_t[2].Add(i, v[i][0]*v[i][1]);}while(M --) Work();return 0;
}

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天才绅士少女助手克里斯蒂娜 [数学+树状数组]

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