任何旋转，都可以用一个旋转轴ω^\hat \omegaω^和一个旋转角θ\thetaθ来描述。

1. 坐标系的线速度和角速度

如上图，在旋转的刚体上，附加一个body frame{b}\{b\}{b}，记为{x^,y^,z^}\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}{x^,y^,z^}。对于三个轴而言，绕着ω^\hat \omegaω^旋转的轨迹为圆。当然，上述坐标轴{x^,y^,z^}\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}{x^,y^,z^}和ω^\hat \omegaω^是在fixed frame{S}\{S\}{S}坐标系下的，下面将ω^\hat \omegaω^记为ω^s\hat \omega_sω^s，

绕着轴ω^\hat \omegaω^的角速度为，
ws=w^θ˙(1)w_s=\hat{w}\dot{\theta} \tag{1} ws=w^θ˙(1)
运动的线速度记为x^˙\dot{\hat{x}}x^˙，三个轴的线速度则为，
x^˙=ws×x^y^˙=ws×y^z^˙=ws×z^(2)\begin{aligned} \dot{\hat{x}}&=w_s \times \hat{x} \\ \dot{\hat{y}}&=w_s \times \hat{y} \\ \dot{\hat{z}}&=w_s \times \hat{z} \end{aligned} \tag{2} x^˙y^˙z^˙=ws×x^=ws×y^=ws×z^(2)
将三个轴的线速度统一写为，
R˙=[ws×x^ws×y^ws×z^]=ws×R(3)\dot{R}= \begin{bmatrix} w_s \times \hat{x} & w_s \times \hat{y} & w_s \times \hat{z} \end{bmatrix}=w_s \times R \tag{3} R˙=[ws×x^ws×y^ws×z^]=ws×R(3)
为了简化公式(3)中的叉乘，特引入了[][][]符号，将w×Rw \times Rw×R可以记为矩阵的乘法[w]R[w]R[w]R，其中[w][w][w]的定义如下：
对于R3\mathbb{R}^3R3中的向量x=[x1x2x3]x=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 &x_3\end{bmatrix}x=[x1x2x3],定义[x][x][x]为一个反对称矩阵，
[x]=[0−x3x2x30−x1−x2x10](4)[x]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{array}\right]\tag{4} [x]=⎣⎡0x3−x2−x30x1x2−x10⎦⎤(4)
[x]=−[x]T(5)[x]=-[x]^T \tag{5} [x]=−[x]T(5)
上述所有3×33 \times 33×3的反对称矩阵统称为so(3)so(3)so(3)，小的。前面说过，旋转矩阵属于SO(3)SO(3)SO(3)，大的。下面有一个两者结合起来有趣的性质，假定riTr_i^TriT为RRR的第iii行，即rir_iri是RTR^TRT的第iii列，则
R[w]RT=R[ws×r1ws×r2ws×r3]=[r1T(ws×r1)r1T(ws×r2)r1T(ws×r3)r2T(ws×r1)r2T(ws×r2)r2T(ws×r3)r3T(ws×r1)r3T(ws×r2)r3T(ws×r3)]=[0−r3Twsr2Twsr3Tws0−r1Tws−r2Twsr1Tws0]=[Rws](6)\begin{aligned} R[w]R^T &= R\begin{bmatrix} w_s\times r_1 & w_s\times r_2 &w_s\times r_3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} r_1^{T}(w_s\times r_1) & r_1^T(w_s\times r_2) & r_1^T (w_s\times r_3) \\ r_2^{T}(w_s\times r_1) & r_2^T(w_s\times r_2) & r_2^T (w_s\times r_3) \\ r_3^{T}(w_s\times r_1) & r_3^T(w_s\times r_2) & r_3^T (w_s\times r_3) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -r_3^Tw_s & r_2^Tw_s\\ r_3^Tw_s & 0 &-r_1^Tw_s\\ -r_2^Tw_s&r_1^Tw_s&0 \end{bmatrix}\\ &=[Rw_s] \end{aligned} \tag{6} R[w]RT=R[ws×r1ws×r2ws×r3]=⎣⎡r1T(ws×r1)r2T(ws×r1)r3T(ws×r1)r1T(ws×r2)r2T(ws×r2)r3T(ws×r2)r1T(ws×r3)r2T(ws×r3)r3T(ws×r3)⎦⎤=⎣⎡0r3Tws−r2Tws−r3Tws0r1Twsr2Tws−r1Tws0⎦⎤=[Rws](6)

对于(6)中矩阵中的r1T(ws×r2)r_1^{T}(w_s\times r_2)r1T(ws×r2)，是三个向量r1,ws,r2r_1,w_s,r_2r1,ws,r2的混合积，也就是三个向量组成的六面体的体积，而我们知道矩阵的行列式的值的物理意义就是体积。根据下面的混合积的图，很容易得到矩阵中对应元素的反对称的关系。

下面我们将三个轴的线速度表示为[w][w][w]的写法，
R˙=[ws]R(7)\dot{R}=[w_s]R \tag{7} R˙=[ws]R(7)

[ws]=R˙R−1(8)[w_s]=\dot{R}R^{-1} \tag{8} [ws]=R˙R−1(8)
前面我们提到的所有的向量和RRR都是在fixed frame{S}\{S\}{S}下描述的，下面我们将wsw_sws在body frame{b}\{b\}{b}下进行描述，易得，
ws=Rsbwb(9)w_s=R_{sb}w_b\tag{9} ws=Rsbwb(9)
则旋转轴在body frame{b}\{b\}{b}下，
wb=Rsb−1ws=R−1ws=RTws(10)w_b=R_{sb}^{-1}w_s=R^{-1}w_s=R^{T}w_s \tag{10} wb=Rsb−1ws=R−1ws=RTws(10)
因此可以得到，
[wb]=[RTws]=RT[ws]R=RT(R˙RT)R=RTR˙=R−1R˙(11)\begin{aligned} [w_b]&=[R^{T}w_s] \\ &= R^T[w_s]R \\ &= R^T(\dot{R}R^{T})R \\ &=R^T\dot{R} \\ &=R^{-1}\dot{R} \end{aligned}\tag{11} [wb]=[RTws]=RT[ws]R=RT(R˙RT)R=RTR˙=R−1R˙(11)

需要注意的是wbw_bwb是在body frame{b}\{b\}{b}下的描述，所以它描述的角速度不是一个旋转的坐标系的角速度(例如{b}\{b\}{b}相对于{S}\{S\}{S}旋转)，而是在某一瞬时，wbw_bwb相对于body frame{b}\{b\}{b}的旋转。

2. 微分方程的解

给定下面一个简单的线性微分方程，其中x(t)∈Rx(t) \in \mathbb{R}x(t)∈R，a∈Ra \in \mathbb{R}a∈R，初始状态x(t)=x(0)x(t) =x(0)x(t)=x(0)，
x˙(t)=ax(t)(12)\dot x(t)=ax(t) \tag{12} x˙(t)=ax(t)(12)
易得上述的解为，
x(t)=eatx(0)(13)x(t)=e^{at}x(0) \tag{13} x(t)=eatx(0)(13)
对eate^{at}eat在000附近进行泰勒展开，可得，
eat=1+at+(at)22!+(at)33!+⋯(14)e^{a t}=1+a t+\frac{(a t)^{2}}{2 !}+\frac{(a t)^{3}}{3 !}+\cdots \tag{14} eat=1+at+2!(at)2+3!(at)3+⋯(14)
同理，当aaa为矩阵AAA时，x(t)x(t)x(t)为列向量，
x˙(t)=Ax(t)(15)\dot x(t)=Ax(t) \tag{15} x˙(t)=Ax(t)(15)
可得解为,
x(t)=eAtx(0)(16)x(t)=e^{At}x(0) \tag{16} x(t)=eAtx(0)(16)
其中，
eAt=1+At+(At)22!+(At)33!+⋯(17)e^{A t}=1+A t+\frac{(A t)^{2}}{2 !}+\frac{(A t)^{3}}{3 !}+\cdots \tag{17} eAt=1+At+2!(At)2+3!(At)3+⋯(17)

3. 指数形式的旋转

任何旋转，都可以用一个旋转轴ω^\hat \omegaω^和一个旋转角θ\thetaθ来描述。其中ω^∈R3,∥ω^∥=1\hat \omega \in \mathbb{R^3},\Vert{\hat \omega}\Vert=1ω^∈R3,∥ω^∥=1，θ∈R3\theta \in \mathbb{R^3}θ∈R3。
下面我们来分析如何利用一根旋转轴和旋转角来描述旋转，

假设向量p(t)p(t)p(t)从p(0)p(0)p(0)绕着ω^\hat{\omega}ω^以恒定的角速度1rad/s1rad/s1rad/s旋转了θ\thetaθ秒，最终到p(θ)p(\theta)p(θ)，定义p(t)p(t)p(t)间断的线速度为，
p˙=ω^×p(18)\dot{p}= \hat{\omega} \times p \tag{18} p˙=ω^×p(18)
由前面的分析，引入[ω^][\hat{\omega}][ω^]，则
p˙=[ω^]p(19)\dot{p}= [\hat{\omega}] p \tag{19} p˙=[ω^]p(19)
该微分方程如前面介绍为，
p(t)=e[ω^]tp(0)(20)p(t)=e^{[\hat{\omega}] t} p(0) \tag{20} p(t)=e[ω^]tp(0)(20)

则，
p(θ)=e[ω^]θp(0)(21)p(\theta)=e^{[\hat{\omega}] \theta} p(0) \tag{21} p(θ)=e[ω^]θp(0)(21)

容易得到[ω^][\hat{\omega}][ω^]两个计算性质，如下，
[ω^][ω^]=ω^ω^T−I(22)[\hat{\omega}][\hat{\omega}]=\hat{\omega}\hat{\omega}^{T}-I \tag{22} [ω^][ω^]=ω^ω^T−I(22)

[ω^][ω^][ω^]=[ω^]3=−[ω^](23)[\hat{\omega}][\hat{\omega}][\hat{\omega}]= [\hat{\omega}]^{3}=-[\hat{\omega}] \tag{23} [ω^][ω^][ω^]=[ω^]3=−[ω^](23)
所以公式21可以化简为，
e[ω^]θ=I+[ω^]θ+[ω^]2θ22!+[ω^]3θ33!+⋯=I+(θ−θ33!+θ55!−⋯)[ω^]+(θ22!−θ44!+θ66!−⋯)[ω^]2=I+sin(θ)[ω^]+(1−cos(θ))[ω^]2(24)\begin{aligned} e^{[\hat{\omega}] \theta} &=I+[\hat{\omega}] \theta+[\hat{\omega}]^{2} \frac{\theta^{2}}{2 !}+[\hat{\omega}]^{3} \frac{\theta^{3}}{3 !}+\cdots \\ &=I+\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3 !}+\frac{\theta^{5}}{5 !}-\cdots\right)[\hat{\omega}]+\left(\frac{\theta^{2}}{2 !}-\frac{\theta^{4}}{4 !}+\frac{\theta^{6}}{6 !}-\cdots\right)[\hat{\omega}]^{2} \\ &= I+sin(\theta)[\hat{\omega}]+(1-cos(\theta))[\hat{\omega}]^{2} \end{aligned} \tag{24} e[ω^]θ=I+[ω^]θ+[ω^]22!θ2+[ω^]33!θ3+⋯=I+(θ−3!θ3+5!θ5−⋯)[ω^]+(2!θ2−4!θ4+6!θ6−⋯)[ω^]2=I+sin(θ)[ω^]+(1−cos(θ))[ω^]2(24)
上式就是著名的罗德里格斯公式，即指数形式的旋转，
Rot⁡(ω^,θ)=e[ω^]θ=I+sin⁡θ[ω^]+(1−cos⁡θ)[ω^]2∈SO(3)(25)\operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta)=e^{[\hat{\omega}] \theta}=I+\sin \theta[\hat{\omega}]+(1-\cos \theta)[\hat{\omega}]^{2} \in S O(3) \tag{25} Rot(ω^,θ)=e[ω^]θ=I+sinθ[ω^]+(1−cosθ)[ω^]2∈SO(3)(25)
经过指数映射，将so(3)s o(3)so(3)和旋转的角度θ\thetaθ通过指数映射为SO(3)S O(3)SO(3)，即三维的旋转矩阵。

在前面文章中介绍过，旋转矩阵左乘和右乘的区别，这里也是类似的，假设body frame{b}\{b\}{b}在fixed frame{S}\{S\}{S}中的描述为RsbR_{sb}Rsb，则Rot⁡(ω^,θ)Rsb\operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta)R_{sb}Rot(ω^,θ)Rsb，左乘，表示将RsbR_{sb}Rsb顺着{S}\{S\}{S}中的ω^\hat{\omega}ω^旋转θ\thetaθ。而RsbRot⁡(ω^,θ)R_{sb}\operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta)RsbRot(ω^,θ)，右乘，表示将RsbR_{sb}Rsb顺着{b}\{b\}{b}中的ω^\hat{\omega}ω^旋转θ\thetaθ。

4. 旋转矩阵的对数

上面描述的是从ω^θ\hat{\omega}\thetaω^θ到旋转矩阵RRR的过程，下面介绍从旋转矩阵RRR求ω^θ\hat{\omega}\thetaω^θ的过程，也就是求得旋转向量和具体的旋转角度，求RRR矩阵的“对数”。可以将两个对应的过程描述成下面的形式，

exp⁡:[ω^]θ∈so(3)→R∈SO(3)log⁡:R∈SO(3)→[ω^]θ∈so⁡(3)\begin{array}{cll} \exp : & [\hat{\omega}] \theta \in s o(3) & \rightarrow & R \in S O(3) \\ \log : & R \in S O(3) & \rightarrow & [\hat{\omega}] \theta \in \operatorname{so}(3) \end{array} exp:log:[ω^]θ∈so(3)R∈SO(3)→→R∈SO(3)[ω^]θ∈so(3)

下面将公式(25)展开，如下，
[cθ+ω^12(1−cθ)ω^1ω^2(1−cθ)−ω^3sθω^1ω^3(1−cθ)+ω^2sθω^1ω^2(1−cθ)+ω^3Sθcθ+ω^22(1−cθ)ω^2ω^3(1−cθ)−ω^1sθω^1ω^3(1−cθ)−ω^2Sθω^2ω^3(1−cθ)+ω^1sθcθ+ω^32(1−cθ)](26)\left[\begin{array}{ccc} c_{\theta}+\hat{\omega}_{1}^{2}\left(1-c_{\theta}\right) & \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{2}\left(1-c_{\theta}\right)-\hat{\omega}_{3} \mathrm{s}_{\theta} & \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{3}\left(1-c_{\theta}\right)+\hat{\omega}_{2} \mathrm{s}_{\theta} \\ \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{2}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)+\hat{\omega}_{3} \mathrm{S}_{\theta} & c_{\theta}+\hat{\omega}_{2}^{2}\left(1-c_{\theta}\right) & \hat{\omega}_{2} \hat{\omega}_{3}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)-\hat{\omega}_{1} \mathrm{s}_{\theta} \\ \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{3}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)-\hat{\omega}_{2} \mathrm{S}_{\theta} & \hat{\omega}_{2} \hat{\omega}_{3}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)+\hat{\omega}_{1} \mathrm{s}_{\theta} & \mathrm{c}_{\theta}+\hat{\omega}_{3}^{2}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right) \end{array}\right] \tag{26} ⎣⎡cθ+ω^12(1−cθ)ω^1ω^2(1−cθ)+ω^3Sθω^1ω^3(1−cθ)−ω^2Sθω^1ω^2(1−cθ)−ω^3sθcθ+ω^22(1−cθ)ω^2ω^3(1−cθ)+ω^1sθω^1ω^3(1−cθ)+ω^2sθω^2ω^3(1−cθ)−ω^1sθcθ+ω^32(1−cθ)⎦⎤(26)
其中，ω^=[w1^w2^w3^]\hat{\omega} = \begin{bmatrix} \hat{w_1} \\ \hat{w_2} \\ \hat{w_3} \end{bmatrix}ω^=⎣⎡w1^w2^w3^⎦⎤，cθ=cos(θ)\mathrm{c}_{\theta}=cos(\theta)cθ=cos(θ)，sθ=sin(θ)\mathrm{s}_{\theta}=sin(\theta)sθ=sin(θ)。
记旋转矩阵RRR为rijr_{ij}rij，则可以得到，
r32−r23=2ω^1sin(θ)r13−r31=2ω^2sin(θ)r21−r12=2ω^3sin(θ)(27)\begin{aligned} r_{32}-r_{23}&=2 \hat{\omega}_{1}sin(\theta) \\ r_{13}-r_{31}&=2 \hat{\omega}_{2}sin(\theta) \\ r_{21}-r_{12}&=2 \hat{\omega}_{3}sin(\theta) \end{aligned} \tag{27} r32−r23r13−r31r21−r12=2ω^1sin(θ)=2ω^2sin(θ)=2ω^3sin(θ)(27)
上式在sin(θ)≠0sin(\theta)\ne 0sin(θ)=0的情况下，可以得到，
ω^1=12sin(θ)(r32−r23)ω^2=12sin(θ)(r13−r31)ω^3=12sin(θ)(r21−r12)(28)\begin{aligned} \hat{\omega}_{1}=\frac{1}{2sin(\theta)}(r_{32}-r_{23}) \\ \hat{\omega}_{2}=\frac{1}{2sin(\theta)}(r_{13}-r_{31}) \\ \hat{\omega}_{3}=\frac{1}{2sin(\theta)}(r_{21}-r_{12}) \end{aligned} \tag{28} ω^1=2sin(θ)1(r32−r23)ω^2=2sin(θ)1(r13−r31)ω^3=2sin(θ)1(r21−r12)(28)
上式也可以写成，
[ω^]=[0−ω^3ω^2ω^30−ω^1−ω^2ω^10]=12sin⁡θ(R−RT)(29)[\hat{\omega}]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -\hat{\omega}_{3} & \hat{\omega}_{2} \\ \hat{\omega}_{3} & 0 & -\hat{\omega}_{1} \\ -\hat{\omega}_{2} & \hat{\omega}_{1} & 0 \end{array}\right]=\frac{1}{2 \sin \theta}\left(R-R^{\mathrm{T}}\right) \tag{29} [ω^]=⎣⎡0ω^3−ω^2−ω^30ω^1ω^2−ω^10⎦⎤=2sinθ1(R−RT)(29)

此外，由式(26)可以得到另外一个计算θ\thetaθ的公式，
tr⁡R=r11+r22+r33=1+2cos⁡θ(30)\operatorname{tr} R=r_{11}+r_{22}+r_{33}=1+2 \cos \theta \tag{30} trR=r11+r22+r33=1+2cosθ(30)
至此，sin(θ)≠0sin(\theta)\ne 0sin(θ)=0的情况下，利用旋转矩阵RRR，我们计算出了ω^\hat{\omega}ω^和θ\thetaθ。接下来讨论sin(θ)=0sin(\theta) = 0sin(θ)=0的情况：

当θ=kπ\theta=k\piθ=kπ，且kkk是偶数的情况下，此时相当于没有旋转，回到了原位置，R=IR=IR=I；
当θ=kπ\theta=k\piθ=kπ，且kkk是奇数的情况下，此时有，
R=e[ω^]π=I+2[ω^]2(31)R=e^{[\hat{\omega}] \pi}=I+2[\hat{\omega}]^{2} \tag{31} R=e[ω^]π=I+2[ω^]2(31)
因为式(31)三个矩阵都是对角矩阵，所以可以得到下面的结果(利用RRR对角元素)
ω^i=±rii+12,i=1,2,3(32)\hat{\omega}_{i}=\pm \sqrt{\frac{r_{i i}+1}{2}}, \quad i=1,2,3 \tag{32} ω^i=±2rii+1,i=1,2,3(32)
利用RRR非对角元素，可得，
2ω^1ω^2=r122ω^2ω^3=r232ω^1ω^3=r13(33)\begin{aligned} 2 \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{2} &=r_{12} \\ 2 \hat{\omega}_{2} \hat{\omega}_{3} &=r_{23} \\ 2 \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{3} &=r_{13} \end{aligned} \tag{33} 2ω^1ω^22ω^2ω^32ω^1ω^3=r12=r23=r13(33)
利用式(32)和式(33)我们就能计算出ω^\hat{\omega}ω^，同时此时旋转的角为θ=±π,±3π,…\theta=\pm \pi, \pm 3 \pi, \ldotsθ=±π,±3π,…。
从上面的计算过程很容易看出来，旋转角度是以2π2\pi2π为周期，其实也是符合物理意义的，旋转π\piπ和旋转3π3\pi3π的效果是一样的，因此我们可以将旋转的角度限定在[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]。此时计算的ω^θ\hat{\omega}\thetaω^θ的长度是≤π\le\pi≤π的。因此我们可以把SO(3)S O (3)SO(3)想象为一个半径为π\piπ的实心球，如下图所示，

当给定球中的一点r∈R3r\in\mathbb{R}^3r∈R3，我们可以将ω^=r∥r∥\hat{\omega}=\frac{r}{\Vert r\Vert}ω^=∥r∥r作为单位长度的旋转轴，∥r∥\Vert r\Vert∥r∥作为θ\thetaθ。和rrr相对应的旋转矩阵RRR可以被看作是绕着ω^\hat{\omega}ω^旋转了θ\thetaθ角。对于R∈SO(3)R\in SO(3)R∈SO(3)，同时trR≠−1trR \ne -1trR=−1，此时在实心球中总能找到一个唯一的rrr，使得e[r]=Re^{[r]}=Re[r]=R。当trR=−1trR = -1trR=−1时，此时∥r∥=π\Vert r\Vert=\pi∥r∥=π，在实心球的表面有一对正好相反的一对点，两者的效果是一样的，rrr和−r-r−r都对应了同一个RRR。

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