[NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 n×mn \times mn×m 的矩阵，矩阵中的每个元素 ai,ja_{i,j}ai,j 均为非负整数。游戏规则如下：

每次取数时须从每行各取走一个元素，共 nnn 个。经过 mmm 次后取完矩阵内所有元素；
每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 ×2i\times 2^i×2i，其中 iii 表示第 iii 次取数（从 111 开始编号）；
游戏结束总得分为 mmm 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式

输入文件包括 n+1n+1n+1 行：

第一行为两个用空格隔开的整数 nnn 和 mmm。

第 2∼n+12\sim n+12∼n+1 行为 n×mn \times mn×m 矩阵，其中每行有 mmm 个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

输出文件仅包含 111 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

样例 #1

样例输入 #1

2 3
1 2 3
3 4 2

样例输出 #1

提示

【数据范围】

对于 60%60\%60% 的数据，满足 1≤n,m≤301\le n,m\le 301≤n,m≤30，答案不超过 101610^{16}1016。
对于 100%100\%100% 的数据，满足 1≤n,m≤801\le n,m\le 801≤n,m≤80，0≤ai,j≤10000\le a_{i,j}\le10000≤ai,j≤1000。

还是想感叹，洛谷这个复制题目makrdown的快捷键是真的舒服，不想leetcode一样需要一点一点的复制

分析

看到这道题我的第一个想法是，这不就是很简单的贪心题吗？
但是，但是，虽然用贪心能过样例，但是只能得20分（两个点）

就拿测试数据2的一行数据为反例：876 1 566 920 598

所以，在借鉴（白嫖）了很多大佬的方法之后，我总结出来一下一种方法：

动态规划

至于为什么只有一种，emmm,我看到的只有这一种

为什么是动态规划？
首先，我们要明白，每一行无论你怎么取都影响不到其他的行，所以动态规划实际上是在每一行的应用
我们可以把每一次拿走边缘的任意一个数的操作分为两种情况：

拿左边
拿右边

而剩下的区间可以重复如此操作，直到没有数取为止。
所以，倒推回来，我们可以看做：

在数组中任取一个数，当前分值设为你选的数
在你选择的数的左侧或右侧选一个数，使得当前分值*2 + 所选数的值最大
当前分值则更新为选取的区间的最大分值（即初始数*2+所选的数）
重复2,3步骤直到没有数可以选

此时，我们可以开始规划如何动态规划了：
声明数组f[MAXN][MAXN]，使f[i][j]表示，在当前数组中，第i个数到第j个数（闭区间）可以选到的最大分值
而初始值，则有f[i][i] = nums[i]，只选自己
这样，可以依据上述步骤推出状态转移方程：
f[i][j] = max(nums[i] + f[i + 1][j], nums[j] + nums[i][j - 1]
即选左边或者右边的最大值
而看数据，还是有点小大，需要用到高精度，但是怎么算最大位数……反正不会超过2^128，就定40位好了。

定义高精度的类名我本来想用gj，但是转念一想，这不是gaoji的缩写吗，还是用ha (high accuracy)要好很多。

那么最初代码如下：

/** Author: Jeefy Fu* Email: jeefy163@163.com* Description:*        Origin URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1005*/#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <array>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;// high accuracy
// 高精度类
class ha {public:int n[41];// 构造器，创建时清零，防止出现乱七八糟的东西ha() {memset(n, 0, sizeof(n));}// 主要是为了把int转换为高精度数ha add(int b) {ha r;r.n[0] = b;int i = 0;while (r.n[i] != 0) {r.n[i] += n[i];r.n[i + 1] += r.n[i] / 10;r.n[i++] %= 10;}return r;}ha add(ha b) {ha r;for (int i = 0; i < 40; i++) {r.n[i] += n[i] + b.n[i];r.n[i + 1] += r.n[i] / 10;r.n[i] %= 10;}return r;}ha mul(int x) {ha r;for (int i = 0; i < 40; i++) {r.n[i] = n[i] * x;}for (int i = 0; i < 40; i++) {r.n[i + 1] += r.n[i] / 10;r.n[i] %= 10;}return r;}// 默认参数，不要在意这个语法void print(bool newline = true) {int i = 40;while (n[--i] == 0 && i > 0);while (i >= 0)putchar(n[i--] + '0');if (newline) putchar('\n');}
};// 重载max对于高精度数的函数
ha max(ha a, ha b) {for (int i = 40; i >= 0; i--) {if (a.n[i] > b.n[i]) return a;else if (a.n[i] < b.n[i]) return b;}return a;
}ha nums[80], result;ha lineMax(ha * ns, int m) {// 使用static数组，减少空间创建与释放static ha dp[80][80];// 由于使用的是static数组，所以每一次也要清零才能继续memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 0; i < m; i++) {dp[i][i] = dp[i][i].add(ns[i]);// printf("DP[%d][%d] set to: ", i, i); dp[i][i].print();}// 思考：为什么要这么写循环？// 答案可以参考后面的优化for (int len = 2; len <= m; len++) {for (int i = 0, j = len - 1; j < m; i++, j++) {// 这么多printf是用来调试的，请勿在意// printf("At DP[%d][%d]:\n", i, j);// printf("\tns[%d]: ", i); ns[i].print(false);// printf("  ns[%d]: ", j); ns[j].print();// 分两行写好看一点^_^dp[i][j] = max(ns[i].add(dp[i + 1][j].mul(2)), ns[j].add(dp[i][j - 1].mul(2)));// printf("\tDP[%d][%d] set to: ", i, j); dp[i][j].print();}}return dp[0][m - 1].mul(2);
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;ha result;for (int i = 0; i < n; i++) {// 每一都要清零memset(nums, 0, sizeof(nums));int tmp;for (int j = 0; j < m; j++) {cin >> tmp;nums[j] = nums[j].add(tmp);}ha lm = lineMax(nums, m);// printf("line %d add max: ", i); lm.print();result = result.add(lm);}result.print();return 0;
}

优化

这里优化一下空间复杂度
如果我们把dp数组的变化给呈现出来，就会发现有一半的空间是没有使用的。
拿样例的第二行1 2 3举例
最终dp数组应该是这样呈现的：

横是i，竖是j

	i₀	i₁	i₂
j₀	1
j₁	5	2
j₂	17	8	3

最终答案是17 * 2 = 34
我们不难发现，算完(i₀, j₁)，(i₀, j₀)也就没有什么用了，所以可以压缩一下空间：

其他的代码不变，啊，这就是模块化编程的魅力所在

ha lineMax(ha * ns, int m) {ha * dp = new ha[m];for (int i = 0; i < m; i++) {dp[i] = dp[i].add(ns[i]);}for (int len = 1; len < m; len++) {for (int i = 0; i < m - i; i++)dp[i] = max(ns[i].add(dp[i + 1].mul(2)),ns[i + len].add(dp[i].mul(2)));}return dp[0].mul(2);
}

完事，下课

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